考問題求解策略之中點弦

中點弦問題常見的題型有：1.求中點弦所在的直線方程；2.求弦的中點的軌跡方程；3.求弦長為定值的弦中點的坐標.常用的求解策略是：1.兩式相減用中點公式求得斜率；2.聯列方程組用韋達定理.

例1.已知直線 與拋物線 交于A，B兩點，那么線段AB的中點的坐標為 .

解析：設 ，由 得 ，從 ，因此，線段AB的中點的坐標為 .

例2.橢圓 中，一組平行弦中點的軌跡是 （在橢圓內的一段），則這組平行弦的斜率為 .

解析：設 是這組平行弦中的一條弦與橢圓的交點，從而 ，把A，B的坐標代入橢圓方程并相減得 ，即 .

例3.直線 與橢圓 交于 兩點，線段 的中點為P，設直線 的斜率為 ，直線OP的斜率為 ，則 的值等于（ ）

A.2 B. C. D.

解析：D.設 ，從而 ，因此 ，把 代入橢圓方程并相減得 ，故 .

例4.直線 交拋物線 于A，B兩點，若AB中點的橫坐標為2，則 .

解析：設 ，由 得 ，又由 知 .又 ，從而 得 .

例5.已知橢圓 ，求以點P 為中點的弦所在的直線方程.

解析：設所求直線與橢圓相交于 ，把A，B的坐標代入橢圓方程并相減得 ，又因為點P為弦AB的中點，則 ，從而得到 ，∴所求直線方程為 .

例6.已知橢圓C的焦點分別為 和 ，長軸長為6，設直線 交橢圓C于A，B兩點，求線段AB的中點坐標.

解析：設 ，并根據題意，得橢圓的方程為 ，把直線 方程代入橢圓方程并整理得 ，從而 .因此線段AB的中點坐標為 .