對數學發展的基礎認知界定

在了解了認知數學內容的元要素后，我們需要對“數學”這個概念做一下基本的界定。

為什么還要對“數學”做概念界定呢？這是因為：第一，雖然都叫做“數學”，但各個歷史時期的“數學”，實質并不相同。第二，我們每個人心目中的“數學”概念，也都不相同。

比如，現代數學，與近代數學，基本是兩碼事。古代數學，與近代數學、現代數學，更是不同。特別是遠古的數學——原始數學，更不相同。而且原始數學能否叫做數學都是問題。

對人類數學發展史，目前大致有個認識上的界定，權威的數學史大致是這么寫的：

“數學是一門最古老學科，它的起源可以上溯到一萬多年以前。但是，公元1000年以前的資料留存下來的極少。迄今所知，只有在古代埃及和巴比倫發現了比較系統的數學文獻。遠在15000年前人類就已經能相當逼真地描繪出人和動物的形象。這是萌發圖形意識的最早證據。后來就逐漸開始了對圓形和直線形的追求，因而成為數學圖形的最早的原型。在日常生活和生產實踐中又逐漸產生了計數意識和計數系統，人類摸索過多種記數方法，有開始的結繩記數，用石塊記數，語言點數進一步用符號，逐步發展到今天我們所用的數字。古希臘人在數學中引進了名稱、概念和自我思考，他們很早就開始猜測數學是如何產生的……”

通過這段文字，我們可以看得出，人類數學從萌芽到現在，經歷了數個漫長的歷史時期，在各個歷史時期，“數學”并不相同，而是經歷了諸多的變化，當然也做出了積累。

史學家和數學家們，從多種標準對數學發展做了發展期的劃分，但這種劃分并不是針對數學教育所提出。因此，我們從學習和教學的角度來閱讀理解數學史，還是比較困難的。

我們知道，在1萬多年前至今的數學發展史中，各個歷史時期的“數學”并不一樣，雖然都稱之為“數學”。所以，我們有必要回溯歷史，并結合人類的認知與思維發展史，從各個歷史時期數學建立的基礎（建立的基本邏輯）和同步時期的人類認知與思維發展的角度，來重新劃分一下數學。

我個人認為，可以劃分為如下幾個階段：

1.遠古數學：人類感覺時期的數學 —— 即量感、形感、質感

時期；

2.原始數學：人類感知、認知時期的數學 —— 即計量、測量、估量和數字、圖形、文字時期。

這個時期，主要是由計數、測量、估量等產生了數字、測繪圖形、自然科學萌芽等。大致相當于古埃及、古印度、古兩河文明

時期。

3.古代數學：人類探知時期開始的數學——即初等數學形成時期的數學。這個時期主要是產生了概念、邏輯、形而上、Logos等，把數學逐步建立在了形而上思維、Logos理念、概念和形式邏輯基礎上，產生了公理體系的幾何學，嚴格的證明和算法等。人類開始以數學、語言學、形而上學、詩歌神話的眼光來認知和理解世界?！叭f物皆數”“人是萬物的尺度”等，便是例證。這也是近現代數學奠定基礎的歷史時期。這個時期大致相當于古希臘時期公元前600年至滅亡。

4.近代數學：笛卡爾創立了解析幾何學，把變量引進了數學，成為數學中的轉折點。數學進入一個新的以變數為主要研究對象的領域，稱為“高等數學”。近代數學本質上可以說是變量數學。微積分、函數、解析幾何、數論等是這個時代的主角。

5.現代數學：現代數學時期是指由19世紀20年代至今，這一時期數學主要研究的是最一般的數量關系和空間形式，數和量僅僅是它的極特殊的情形，通常的一維、二維、三維空間的幾何形象也僅僅是特殊情形。抽象代數、拓撲學、泛函分析是整個現代數學科學的主體部分。

19世紀前半葉，數學上出現三項革命性的發現：非歐幾何、不可交換代數、分析的算術化。這導致了現代數學的突破和奠基。

拓撲學開始是幾何學的一個分支，但是直到20世紀的第二個1/4世紀，它才得到了推廣。拓撲學可以粗略地定義為對于連續性的數學研究。科學家們認識到：任何事物的集合，不管是點的集合、數的集合、代數實體的集合、函數的集合或非數學對象的集合，都能在某種意義上構成拓撲空間。拓撲學的概念和理論，已經成功地應用于電磁學和物理學的

研究。

20世紀有許多數學著作曾致力于仔細考查數學的邏輯基礎和結構，這反過來導致公理學的產生，即對于公設集合及其性質的研究。許多數學概念經受了重大的變革和推廣，并且像集合論、近世代數學和拓撲學這樣深奧的基礎學科也得到廣泛發展。一般（或抽象）集合論導致的一些意義深遠而困擾人們的悖論，迫切需要得到處理。邏輯本身作為在數學上以承認的前提去得出結論的工具，被認真地檢查，從而產生了數理邏輯。邏輯與哲學的多種關系，導致數學哲學的各種不同學派的出現。

從整個數學發展史來看，數學成立的基礎是：概念、邏輯。

以上引用的都是比較權威的數學史、自然科學史上的資料和說法，而且在不同的版本之間做過比對。

大家可以看到：我們今天的初等數學等于古代數學，常量數學；我們今天的高等數學等于近代數學，變量數學；我們今天的抽象數學等于現代數學，分析數學。

古代數學就是初等數學，那么初等數學之前，是什么數學呢？所以，如果硬要叫做數學的話，只能叫做原始數學了。

（作者單位：公眾教育研究院）