淺談立體幾何的教學方法

【摘 要】立體幾何歷來是中學數學教學內容的一個難點，也是培養學生邏輯思維能力的最佳課程。本文總結了把立體幾何圖形簡化歸為平面幾何圖形的傳統方法以及利用向量的知識求解立體幾何， 在傳統方法中著重突出了平面幾何與立體幾何的聯系與轉化。

【關鍵詞】立體幾何 圖形簡化 向量

一、引言

雖然立體幾何與平面幾何是有著千絲萬縷的、不可分割的聯系， 但是立體幾何主要是由于數學形式從一個平面過渡到兩個或多個平面， 若從觀點、形式、內容等方面來說， 實質上是一個較大的跳躍，在實際的教學中往往由于學生在空間想象上不能把平面圖形同空間圖形聯系起來， 從而使對立體幾何的學習變成沒有基礎的空中樓閣。

二、新課程下幾何教學的實施策略

（一）、傳統方法

1、充分利用模具圖形，引導學生走進“空間”

學生學習立體幾何感到困難，其原因之一是習慣于在一個平面內思考問題，缺乏空間想象力。針對學生出現的這些問題，教師有針對性地，通過實物、模具、圖形，引導學生由“平面”走進“空間”。在上課的過程中，教師結合授課內容，常作黑板示范， 畫出空間各元素線面間、面面間、常用多面體的直觀圖，草圖， 醒目直觀地表達出圖形各元素間的位置、度量關系和性質特征， 富有立體感。

2、善于采取多種方法，指導學生轉“立”為“平”

立體幾何的許多定義、公理、定理，都歸結為平面幾何問題， ，如異面直線所成的角、直線和平面所成的角、線面平行的判定；由立體條件，導出平面結論；求證（解） 空間問題，實質上是求證（解） 平面問題。最基本的轉化方法是創設“基本平面”法。所謂基本平面， 就是將問題的性質特征、數量關系集中，即將已知、求證（解） 包含于該平面內。

例1：正三角形ABC的中心是0，邊長是2cm， 且 ，求點H到這個正三角形各頂點和各邊的距離。

分析：延長AO交BC于D，連結HD，則平面HDA就是“基本平面”。

HO是邊DA上的高，即正三梭錐的高； 是點 到這個正角形各頂點的距離；HD是點H到各邊的距離。

例2：已知在正四棱錐 中，其兩相鄰側面的二面角為 ，點E為側棱PC的中點.求棱錐頂點P到平面BDE的距離。

分析：由所給的棱錐為正四棱錐，知底面為正方形，則易知BD的中點O為底面正方形的中心，又由E為PC的中點，因此有 ，從而頂點P到平面BDE的距離等于兩平行線PA與OE之間的距離，進一步又等于底面中心O到PA的距離.由于正四棱錐的側面都相等，在面PAB上，過點B作BF，使 交于點F，連結DF，顯然 所以有直線 ，又直線 ，因此，有 ，即知OF為所求.由作法可知， 為平面PAB與平面PAD的二面角，又由已知，得 故原立體幾何問題轉化為平面幾何問題。

此外，轉“立”為“平”的方法，還有旋轉（折疊） 、表面展開法，聯系、區別、類比法。

（二）、向量法

利用傳統的方法在解答立體兒何中的求值題往往要通過作輔助線或輔助面等方法構造出“ 異面直線所成的角” 、“ 二面角的平面角” ， 然后轉化為平面幾何問題來解決， 其方法和過程較為繁瑣。除此方法外，我們還可以利用向量法求解立體幾何問題，處理時，不需要添加任何輔助線，運算有章可循，即靈巧又方便，同時向量公式又不依賴于坐標系。

從上述例題的證題思路可以看出，利用傳統的方法在立體幾何的證題中，往往需要把結論中涉及到的不在同一平面上的線段關系轉化或簡化為在同一平面上的線段關系，從而找到所需證明的平面幾何證題，這一點簡單化歸的核心思想， 利用平面幾何的知識，結合立體幾何的知識，最后解決需證明的結論。而利用向量及其運算知識解立體幾何題，進一步反映了立體幾何中有關概念的本質，可使計算方法和過程更為簡明。

參考文獻

[1]彭玉忠.新課標高中立體幾何若干問題辨析[J].中學數學月刊，2006（12）：10-12.

[2]數學課程標準研制組，普通高中數學課程標準（實驗）解讀[M].南京：江蘇教育出版社，2004