從弧度制的引入和對數的發明談起

半個多世紀以前，著名數學家柯朗（R.Courant）在名著《數學是什么》的序言中寫道：“今天，數學教育的傳統地位陷入嚴重的危機。數學教學有時竟變成一種空洞的解題訓練。數學研究已出現一種過分專門化和過于強調抽象的趨勢，而忽視了數學的應用以及與其他領域的聯系。教師、學生和一般受過教育的人都要求有一個建設性的改造，其目的是要真正理解數學是一個有機整體，是科學思考與行動的基礎。”

和所有文化現象一樣，數學文化直接支配著人們的行動。孤立主義的數學文化，一方面拒人于千里之外，使人望數學而生畏；另一方面又孤芳自賞、自言自語，令人把數學家當成“怪人”。學校里的數學，原本是青少年喜愛的學科，卻成為過濾的“篩子”、打人的“棒子”。優秀的數學文化，會是美麗動人的數學王后、得心應手的仆人、聰明伶俐的寵物。伴隨著先進的數學文化，數學教學會變得生氣勃勃、有血有肉、光彩照人。

下面從弧度制的引入和對數的發明方面談談數學發展的相關歷程，期待學生能從中體驗到數學文化和數學思維的魅力。

一、弧度制的引入

阿耶波多（Aryabhata Ⅰ，476—550年）是現在知道的印度最早的數學家和天文學家，1976年，為紀念阿耶波多誕生1500周年，印度發射了以阿耶波多命名的第一顆人造衛星。他只有一本天文數學著作《阿耶波多歷數書》（499）傳世。該書突出的地方在于對希臘三角學的改進。

改進主要有：

①把半弦與全弦所對弧的一半相對應（如圖1），成為今天的習慣。

②引入了弧度制

阿耶波多將圓周分為360度，又采用60進制將1度分為60分，這樣將整個圓周分為21600分。再由2πr=21600，可得半徑r=3437.747（取圓周率π≈3.1416），定義取整定半徑為r=3438分，這樣就統一了半徑和圓弧之間的單位。原來托勒玫（古希臘）三角學中有兩套單位。30度弧對應的弦值是30個半徑單位（半徑長的1/60為一個單位），30度是圓弧的單位。1度是圓周之后，3°45′=225分，因而引入了弧度制。

現代弧度制是歐拉在《無窮小分析引論》（1748）中倡導的，他是以半徑為單位1來當統一單位，這樣圓周為2π單位。

③他還給出了第一象限內間隔3°45′（即 ）的正弦差值表。如sin30°=1719，sin45°=2431等。

弧度制的精髓就在于統一了度量弧（后來的角）與半徑的單位，從而大大簡化了有關公式及運算。

二、對數的發明

9710.3265÷2.1829=？

沒有什么比大數的乘、除、開平方或開立方運算更讓數學工作者頭痛，更阻礙計算者了。這不僅浪費時間，而且容易出錯。因此，我開始考慮怎樣消除這種障礙，經過長時間的思索，我終于找到了一種漂亮的簡短法則……——《奇妙的對數定理說明書》

1614年，蘇格蘭的貴族數學家納皮爾（J.Napier，1550-1617）出版了《奇妙的對數定理說明書》小冊子，給出了一種新的計算乘法的方法，即對數方法：如若計算y1，y2，先把y1，y2寫成y1=a ，y2=a 的形式，其中a=107，e為自然對數的底，再求x1+x2，然后計算a2 即可。

書中借助運動學，用幾何術語闡述了對數方法。如圖2，假定兩點P，Q以相同的初速度運動。點Q沿直線CD作勻速運動，CQ=x；點P沿直線AB（長度為107單位）運動，它在任何一點的速度值等于它尚未經過的距離（PB=y）。令P與Q同時分別從A，C出發，那么，定義x為y的對數。后人稱為納皮爾對數：Naplog。利用對數，納皮爾制作了0°～90°每隔1′的正弦的對數。

納皮爾對數方法公布之后，引起了很多人的興趣，認為此方法可以很好地解決大數乘法問題，因而傳播開來。

沒過多久，英國數學家布里格斯（H.Briggs 1561—1631年）與納皮爾合作，又將納皮爾方法中的自然常數e改成了10，這樣就更方便了，因而產生了我們今天的常用對數。

常用對數是如此好用，以至于不久就被廣泛用到了當時的天文學中，后來拉普拉斯曾說：“對數的發明以其節省勞動力而延長了天文學家的壽命。”阿拉伯數字、十進制和對數被稱作數學計算方面的三大發明。

注：本文系淄博市市級課題高中數學“基于數學文化的高中新授課教學研究與實驗”課題研討會專題發言稿。

作者簡介：常永興，男，中學一級教師，學士學位，淄川區優質課一等獎，淄川區教學能手，中學數學教學參考編輯部第十屆“解題教學高級研討班”學員，現參與市級課題高中數學“基于數學文化的高中新授課教學研究與實驗”。

？誗編輯 溫雪蓮