淺談《初等數(shù)論》的課程理論

【摘要】：初等數(shù)論是研究數(shù)的規(guī)律，及整數(shù)性質的數(shù)學分支，它是數(shù)論的一個最古老的分支。 本文探索初等數(shù)論的基本理論，歷史發(fā)展，其代表人物以及其蘊涵的數(shù)學思想。

【關鍵詞】：初等數(shù)論;歷史發(fā)展;代表人物;數(shù)學思想

一、初等數(shù)論的基本理論

初等數(shù)論是研究數(shù)的規(guī)律，特別是整數(shù)性質的數(shù)學分支。它是數(shù)論的一個最古老的分支。它以算術方法為主要研究方法，主要內容有整數(shù)的整除理論，同余理論，連分數(shù)理論和某些特殊不定方程。 換言之，初等數(shù)論就是用初等、樸素的方法去研究數(shù)論。另外還有解析數(shù)輪（用解析的方法研究數(shù)論。）、代數(shù)數(shù)論（用代數(shù)結構的方法研究數(shù)論）。其中整除理論是初等數(shù)論的基礎，它是在帶余除法的基礎上建立起來的，整除理論的中心內容是算術基本定理和最大公約數(shù)理論。同余理論是初等數(shù)論的核心，它是數(shù)論所特有的思想、概念與方法。從歷史來看，求解不定方程是推進數(shù)論發(fā)展的最重要的課題，它是建立在整除理論和同余理論上來進行求解的。初等數(shù)論有以下幾部分內容：

1、整除理論。引入整除、因數(shù)、倍數(shù)、質數(shù)與合數(shù)等基本概念。這一理論的主要成果有：唯一分解定理、裴蜀定理、歐幾里德的輾轉相除法、算術基本定理、素數(shù)個數(shù)無限證明。

2、同余理論。主要出自于高斯的《算術研究》內容。定義了同余、原根、指數(shù)、平方剩余、同余方程等概念。主要成果：二次互反律、歐拉定理、費馬小定理、威爾遜定理、孫子定理（即中國剩余定理）等等。

3、連分數(shù)理論。引入了連分數(shù)概念和算法等等。特別是研究了整數(shù)平方根的連分數(shù)展開。主要成果：循環(huán)連分數(shù)展開、最佳逼近問題、佩爾方程求解。

4、不定方程。主要研究了低次代數(shù)曲線對應的不定方程，比如勾股方程的商高定理、佩爾方程的連分數(shù)求解。也包括了四次費馬方程的求解問題等等。

5、數(shù)論函數(shù)。比如歐拉函數(shù)、莫比烏斯變換等等。

6、高斯函數(shù)。

二、初等數(shù)論的歷史發(fā)展及代表人物

古希臘畢達哥拉斯是初等數(shù)論的先驅。他與他的學派致力于一些特殊整數(shù)（如親和數(shù)、完全數(shù)、多邊形數(shù)）及特殊不定方程的研究。公元前4世紀，歐幾里德的《幾何原本》通過102個命題，初步建立了整數(shù)的整除理論。他關于“素數(shù)有無窮多個”的證明，被認為是數(shù)學證明的典范。初等數(shù)論已經有2000年的歷史，公元前300年，歐幾里得發(fā)現(xiàn)了素數(shù)是數(shù)論的基石，他自己證明了有無窮多個素數(shù)。公元前250年古希臘數(shù)學家埃拉托塞尼發(fā)明了一種篩法。2000年來，數(shù)論學的一個最重要的任務，就是尋找一個可以表示所有素數(shù)的統(tǒng)一公式，或者稱為素普遍公式，為此，人類耗費了巨大的心血。後來發(fā)現(xiàn)埃拉托塞尼篩法可以轉換成為一個素數(shù)產生的公式。公元3世紀，丟番圖研究了若干不定方程，并分別設計巧妙解法，故后人稱不定方程為丟番圖方程。17世紀以來，P.de費馬、L.歐拉、C.F.高斯等人的工作大大豐富和發(fā)展了初等數(shù)論的內容。古代中國 公元3世紀，丟番圖研究了若干不定方程，并分別設計巧妙解法，故后人稱不定方程為丟番圖方程。17世紀以來，P.de費馬、L.歐拉、C.F.高斯 等人的工作大大豐富和發(fā)展了初等數(shù)論的內容。

費馬在古典數(shù)論領域中的成果很多，比如提出了不定方程無解證明的無窮遞降法，引入了費馬數(shù)等等，與費馬相關的著名結論如下：費馬小定理：a^p-a≡0（mod p），其中p是一個素數(shù)，a是正整數(shù)。事實上它是歐拉定理的一個特殊情況，Euler定理是說：a^φ（n）-1≡0（mod n），a，n都是正整數(shù)，φ（n）是Euler函數(shù)，表示和n互素的小于n的正整數(shù)的個數(shù)。費馬大定理（當時是猜想）：ngt;2是整數(shù)，則方程x^n+y^n=z^n沒有滿足xyz≠0的整數(shù)解。這個是不定方程，它已經由美國數(shù)學家安德魯·懷爾斯證明了（1995年），證明的過程相當艱深。

歐拉引入歐拉函數(shù)，得到著名的歐拉定理——費馬小定理推廣;研究了連分數(shù)展開問題;用解析方法證明了素數(shù)無限;討論平方和問題及哥德巴赫猜想——加性數(shù)論內容。

高斯被譽為“數(shù)學王子”。解決了正多邊形尺規(guī)作圖問題，將它和費馬數(shù)聯(lián)系起來。高斯的著作《算術研究》提出了同余理論，討論了平方剩余問題，發(fā)現(xiàn)了二次互反律。高斯提出了著名的素數(shù)定理（當時是猜想），研究了指標和估計問題——表示論的雛形。

從某種程度上可以說，初等數(shù)論是數(shù)學中“理論與實踐”相結合得最完美的基礎課程，近代數(shù)學中許多重要思想、概念、方法與技巧都是從整數(shù)性質的深入研究而不斷豐富和發(fā)展起來的。在深入研究數(shù)論過程中，要仔細體會構造性和技巧性的證明思想。

三、初等數(shù)論蘊涵的數(shù)學思想方法

初等數(shù)論在計算機科學、代數(shù)編碼、密碼學、組合數(shù)學、計算方法等領域內得到了廣泛的應用，成為計算機科學等相關專業(yè)不可缺少的數(shù)學基礎.數(shù)論的魅力在于它可以適合小孩到老人，只要有算術基礎的人均可以研究數(shù)論.初等數(shù)論貌似簡單，但真正掌握并非易事，它的內容嚴謹簡潔，方法奇巧多變，其中蘊含了豐富的數(shù)學思想方法。

（一） 轉化思想方法

轉化是一種常用的數(shù)學思想方法.轉化是指問題之間的相互轉化，或者將問題的一種形式轉化為另一種形式，或者把復雜問題轉化成較簡單問題、將陌生問題轉化為已解決或熟悉的問題[1].通過恰當?shù)幕瘹w轉化不僅能夠順利地解決原問題，而且有助于培養(yǎng)學生科學的思維習慣.整除是數(shù)論中的基本概念，此問題是數(shù)論中比較簡單的一種類型.有時我們需要判斷幾個分式的和是一個整數(shù)，這樣直接求其是整數(shù)比較困難，因而常常化為整除問題解決.

（二）配對思想方法

就是將整體對象中的滿足某種特性的對象進行組合配對，再利用配對后的特性解決原問題。

定義：歐拉函數(shù)（a）是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，（a）等于序列0，1，2···a-1中與a互素的正整數(shù)的個數(shù)。

定義：在模m的每個互素剩余類Cr（0rm，（r，m）=1）中任取一數(shù)ar，則所有的數(shù)

ar（0rm，（r，m）=1）所組成的集，叫做模m的一個簡化剩余系。

定義：在個與模（m）與m互素的剩余類中各取一個數(shù)，稱這個（m）數(shù)為模m的簡化剩余系.

（三）矩陣的思想方法

初等數(shù)論課本上，利用整數(shù)初等變換，僅研究了兩個整數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的問

題，略顯不夠深入.再此基礎上，我們可以通過構造整數(shù)矩陣，一矩陣的整數(shù)的初等變換為

工具，得到了求m（mgt;2）個整數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的方法。利用初等變換求整數(shù)的最大公約數(shù)。

命題：設（a1，a2…an）=d則存在可逆矩陣A=（aij）m·n使得 [a1，a2，···an]A=[d，0···0]（n≥2）。

參考文獻：

[1] 閔嗣鶴，嚴士健.初等數(shù)論[M].北京：高等教育出版社。2003.

[2]潘承洞.潘承彪.簡明數(shù)論[M].北京：北京大學出版社。1998.

[3]張奠宙.中國近現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展[M].石家莊;河北科技出版社，2000.