關(guān)于廣義正態(tài)分布性質(zhì)的研究

一、引言

正態(tài)分布是由德國著名數(shù)學(xué)家高斯首先得到的，所以也常常稱為高斯分布。正態(tài)分布在數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)及工程中都具有非常重要的地位，尤其在統(tǒng)計學(xué)中有著重大的影響力。事實上，正態(tài)分布是應(yīng)用最為廣泛的一種分布，它存在于人們生產(chǎn)生活的各個方面。例如，同一機器生產(chǎn)出的大量產(chǎn)品的質(zhì)量分布；同一年齡段人類的身高、體重分布；某一地區(qū)年降水量的分布；科學(xué)實驗中測量同一物體的誤差分布，理想氣體的速度分布等等。現(xiàn)在人們知道，正態(tài)分布是由中心極限定理保證的。實際應(yīng)用中，還存在一些其他形式的分布，例如t分布、F分布等，其實，這些分布也是由正態(tài)分布直接導(dǎo)出的。正態(tài)分布可以用來估計頻數(shù)分布，制定參考值范圍，質(zhì)量控制等等。然而，我們知道，作為保證正態(tài)分布的中心極限定理，是以大數(shù)法則為前提的，具體地說，事件的數(shù)目越多，中心極限定理越嚴(yán)格，才能保證趨向于正態(tài)分布。理論上講，事件的數(shù)目為無窮大時，中心極限定理才嚴(yán)格正確，分布才是正態(tài)分布。實際生活中，事件的數(shù)目顯然不是無窮大，因此正態(tài)分布實際上并不能準(zhǔn)確無誤地表示分布規(guī)律。在本篇文章中提出以廣義正態(tài)分布代替?zhèn)鹘y(tǒng)正態(tài)分布，可以很有效地解決這一矛盾。

以上討論的廣義正態(tài)分布下的運算法則都是相對簡潔的，事實上實際運算中還會出現(xiàn)很多本文未能包含的情況，但不管多么復(fù)雜的運算，總能從本文定義的加減乘除以及微分積分經(jīng)過適當(dāng)?shù)慕M合以及變形給出。在廣義運算規(guī)則下，廣義正態(tài)分布中的運算量大大減少，這很好地減輕了工業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)實驗中的計算量，具有非常重要的實際意義。

三、廣義正態(tài)分布的跨學(xué)科應(yīng)用

為了進一步說明廣義正態(tài)分布的重要性，以下將舉出兩個廣義正態(tài)分布成功應(yīng)用的例子。

例1.某地抽樣調(diào)查兩百名十九歲的男大學(xué)生的身高，發(fā)現(xiàn)平均身高為172.5厘米，標(biāo)準(zhǔn)差為3.98厘米。求這兩百名十九歲男大學(xué)生中，有多少人身高分布在168.5厘米到176.5厘米之間？若依照傳統(tǒng)正態(tài)分布理論，可以很容易得出67%的男大學(xué)生處在該范圍，于是算出應(yīng)該有134人身高分布在168.5厘米到176.5厘米之間。然而實際情況卻有所偏差。該地抽樣調(diào)查結(jié)果顯示，這兩百名十九歲的男大學(xué)生身高處在該范圍的人數(shù)為136人。應(yīng)用廣義正態(tài)分布理論，取q值為0.96，可發(fā)現(xiàn)廣義正態(tài)分布計算所得值為136人，與實際抽樣調(diào)查結(jié)果相同。事實上，傳統(tǒng)正態(tài)分布與實際的偏差來源于抽樣的局限性。抽樣的樣本容量越小，理論與實際的偏差越大，q越偏離1，越應(yīng)該使用廣義正態(tài)分布。傳統(tǒng)正態(tài)分布嚴(yán)格來講只適用于抽樣容量無限大的情況。

例2.理想氣體分子的速度分量分布。物理學(xué)中經(jīng)常以理想氣體為例來驗證新理論的正確性。所謂理想氣體，是指氣體分子本身體積與容器總體積相比很小，可忽略不計，且氣體分子之間的作用力也很小，也可忽略不計的氣體。一般認為，理想氣體的速度分量遵循麥克斯韋分布律，麥克斯韋分布律實質(zhì)上也就是正態(tài)分布。然而，理想氣體的速度分量分布，是否真的遵從正態(tài)分布，一般多年來都是作為一個既定的事實，從未在實驗上直接測量驗證過。近年來，越來越多的科學(xué)家認為，正態(tài)分布或許只是一種可能的分布，而不是唯一的分布。另外，理想氣體的條件過于苛刻，實際上不存在能夠滿足理想氣體條件的真實氣體。廣義正態(tài)分布為對應(yīng)的廣義麥克斯韋分布律提供了一種可能，對于不同的氣體，取不同的q值，可以更好地描述真實氣體系統(tǒng)。

參考文獻：

周秋生.廣義正態(tài)分布及其二次函數(shù)的性質(zhì)[J].測繪工程，1999（1）.