階小于16的有限群的分類

摘 要：本文主要應用群論的初等技巧和擴張理論，通過計算，對階小于16的有限群做了完全分類。

關鍵詞：Sylow 子群 群擴張

代數學的基本問題之一就是決定由某些公理定義的代數系有多少互不同構的類型。即所謂的同構分類問題。對于很多代數系統來說，這個問題已經得到了解決。例如 Wedderburn 的環的構造定理，Frobenius 關于實數域上有限維可除袋鼠的分類定理，Cartan 關于復數域上單Lie代數的分類定理等等。最簡單的，在學習線性代數的時候我們知道，任意域上給定維數的線性空間都彼此同構，這實際上就是域上有限維線性空間的同構分類定理。它告訴我們，從同構的意義上來講，任意域上給定位數 n 的線性空間只有一個。又比如說，我們下面的引理3給出了有限和無限循環群的同構分類定理。并且解決了有限交換群的同構分類問題，即證明了每個交換群都可以分解成若干有限循環群的直積，并且其基元素的階被該群唯一確定，因此我們可以很容易的新出任意給定n階有限交換群的全部的互不同構的類型。又比如我們的引理5，我們隊任意的一個素數p，給出了所有階至多p3的p-群的互不同構的類型。這些都可作為解決同構分類成功的例子?；谕瑯拥南敕?，A.Cayley 在給出了抽象群的公理化定義之后，于1878年明確地提出了對于一般的n階有限群的同構分類問題。和循環群以及交換群的情形迥然不同，人們發現這個問題是驚人的復雜和困難。這對群來說，就是對任意的正整數n，決定n階群所有互不同構的類型。本文應用了群的初等技巧和擴張理論，給出了階小于16的群G的完全分類。若無特殊說明，本文所涉及的概念以及符號均取自文獻。

參考文獻：

[1]徐明曜， 有限群導引[M]. 北京：科學出版社， 2001.

[2]張遠達. 有限群構造[M]. 北京：科學出版社， 1982.