平面曲線曲率半徑的運(yùn)動學(xué)探究

摘 要：以曲線和曲面為代表的幾何特征在現(xiàn)代生活中隨處可見，研究者對其在現(xiàn)代大型建筑設(shè)計、工業(yè)生產(chǎn)制造、物體運(yùn)動學(xué)規(guī)律等諸多領(lǐng)域進(jìn)行了廣泛深入的探究。本文詳細(xì)分析了平面曲線曲率幾何學(xué)特征以及其對應(yīng)的運(yùn)動學(xué)規(guī)律，試圖從多個角度對曲線曲率問題進(jìn)行全方位的解讀與探索，同時利用電腦編程求解，進(jìn)一步研究了橢圓曲線在不同長短半軸比下的曲率半徑變化規(guī)律。

關(guān)鍵詞：平面曲線；曲率半徑；運(yùn)動學(xué)分析；橢圓曲線曲率；程序求解

一、概述

在現(xiàn)今社會生活中，以曲線和曲面為代表的幾何特征處處可見。建筑設(shè)計中的直曲結(jié)合、汽車外形流線型曲面的制造加工以及各種物體的曲線運(yùn)動等，都是生活中對曲線、曲面的應(yīng)用。因此，在現(xiàn)實(shí)生活應(yīng)用的基礎(chǔ)上對各種曲線曲面幾何特征的研究具有重要意義。其中，平面曲線的曲率半徑在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中具有相通之處，由此又激發(fā)了我們從不同的學(xué)科角度對一個概念進(jìn)行深入理解的靈感。

平面曲線在各種領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。在綜合地質(zhì)勘探的編錄中，[1]地質(zhì)學(xué)家利用曲率圓的某一段圓弧來近似地代表巖層的一段走向，即“以曲代直”；利用曲率半徑來編錄巖層走向變化大、有褶皺構(gòu)造的坑道，并用這一編錄結(jié)果與實(shí)際情況作比較。勘測結(jié)果顯示，這種方法具有一定的實(shí)用價值。

另外，科研人員根據(jù)平面曲線曲率半徑的運(yùn)動學(xué)規(guī)律制造各種機(jī)器零件。例如，數(shù)控車床加工時，常常利用刀具切割多曲率圓弧面；在數(shù)控車床上加工多曲率圓弧面工件時，[2]不同曲率圓弧交接點(diǎn)的坐標(biāo)值、加工工藝和刀具的應(yīng)用非常重要，它不僅具備加工程序的簡潔性，還會影響工件的加工質(zhì)量和加工效率。在工業(yè)制造中，加工特殊管道時，也需要對刀具的曲線加工路徑以及刀具自身曲率半徑進(jìn)行深入的研究，用于工廠生產(chǎn)。

本文系統(tǒng)地從數(shù)學(xué)幾何定理以及物理學(xué)物體曲線運(yùn)動的角度探討了平面曲線曲率的數(shù)學(xué)物理意義，從而全面認(rèn)識平面曲線的幾何特征的數(shù)學(xué)和運(yùn)動學(xué)規(guī)律。然后進(jìn)一步以橢圓曲線為例，探討了這一廣泛存在于天體運(yùn)動以及工業(yè)曲線加工領(lǐng)域的特征曲線的曲率半徑變化規(guī)律，并通過數(shù)值程序的求解得到了不同位置的曲率半徑，研究了橢圓曲線在不同位置的曲率半徑大小。

二、平面曲線曲率半徑的數(shù)學(xué)求解及運(yùn)動學(xué)分析

在幾何學(xué)中，用曲率半徑來描述曲線的彎曲程度。如圖 1（a）所示，設(shè)曲線S是光滑連續(xù)可導(dǎo)的，曲線上處處都有切線，而且切線隨著切點(diǎn)的移動而連續(xù)變化，在圖示的xOy坐標(biāo)系中的曲線方程為y=y（x）。對于曲線上的微弧段AB，其對應(yīng)圓的圓心為O'點(diǎn)，則OA或OB的長度即為曲線上該點(diǎn)待求的曲率半徑，微弧段AB的長度為ds，對應(yīng)的圓心角為dα，則有曲線上該點(diǎn)對應(yīng)的曲率半徑為ρ=|—|，其中易得微弧段的圓心角為dα=—dx，微弧段的長度為ds=√1+y'2dx。故可得曲線S在該微弧段處的曲率半徑如式①所示：

平面曲線作為一種運(yùn)動軌跡在生活中也處處可見，從運(yùn)動曲線S處物理學(xué)分析如圖 1（b）所示，某物體的運(yùn)動軌跡為圖中的曲線S，曲線運(yùn)動中A點(diǎn)處的速度方向為該處的切線方向，物體運(yùn)動到A點(diǎn)時的受力為F，將力F在切線方向和法線方向分解為Fn與Ft，其中，F(xiàn)n的作用效果改變物體運(yùn)動的方向，F(xiàn)t改變物體運(yùn)動的速度大小。

特別地，物體在該處速度方向的變化反映了曲線在該處的彎曲程度，F(xiàn)n對應(yīng)于該處的一個瞬時圓周運(yùn)動，有Fn=—。

故由上分析可得，在物理運(yùn)動學(xué)中，對曲線S處的曲率半徑求解式如下式：

三、橢圓曲線的曲率半徑分析及程序求解

橢圓曲線作為一種特殊的平面曲線，在天體運(yùn)動和工業(yè)機(jī)械加工中隨處出現(xiàn)。一方面，在對天體物體的研究中，絕大多數(shù)的天體運(yùn)動軌跡可以合理地簡化為橢圓運(yùn)動，因此對橢圓運(yùn)動的幾何特性進(jìn)行研究在探索宇宙科學(xué)中發(fā)揮著重要作用；另一方面，在工業(yè)生產(chǎn)加工制造橢圓形曲面或者孔洞時，常常需要選擇合理半徑的刀具，這是因為如果刀具尺寸過大，則無法加工生產(chǎn)出所需要的橢圓結(jié)構(gòu)，無法保證加工精度；而當(dāng)?shù)毒叱叽邕^小時，加工效率則受到較大的影響。

因此，對待加工的橢圓空隙各處曲率半徑的研究在選取最為合適大小刀具時顯得尤為重要。

如前文中所述，對橢圓曲線曲率半徑的研究一方面可以通過式①進(jìn)行數(shù)學(xué)求解，另一方面也可以通過式②進(jìn)行運(yùn)動學(xué)求解。

在此則從運(yùn)動學(xué)角度對橢圓曲線曲率半徑進(jìn)行分析。橢圓運(yùn)動一方面可以看作天體運(yùn)動的軌跡，在焦點(diǎn)處的天體對橢圓軌道上的天體萬有引力的作用使得其做橢圓運(yùn)動；另一方面可以從運(yùn)動的分解與合成將其可以看作在兩個維度上的簡諧振動的合成，如圖 2所示。根據(jù)橢圓的參數(shù)方程可以將橢圓曲線軌跡理解為在x方向和y方向上的簡諧振動的合成。設(shè)在橢圓曲線上某點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則從兩個簡諧振動合成的角度可得：x=a·cosωt，y=b·sinωt，式中的ω和t分別為簡諧振動的角頻率和運(yùn)動時間。則可得在橢圓運(yùn)動中所對應(yīng)的回復(fù)力如下式③所示：

Fx=mx=-mω2acosωt

Fy=my=-mω2bcosωt

運(yùn)動中對應(yīng)的速度為：

vx=x=-aωsinωt

vy=y=-bωcosωt

因此可以得到在橢圓曲線運(yùn)動中每一時刻對應(yīng)的速度vi（vx，vy）和受力Fi（Fx，F(xiàn)y）。

由式②可知，當(dāng)前時刻曲線曲率半徑由其對應(yīng)的速度和向心力決定，即ρ=—，其中每一時刻的F⊥v可以表示為下式：

為了進(jìn)一步研究橢圓曲線曲率半徑ρ在不同位置的變化，取橢圓的半短軸b為1個單位長度，分別取橢圓曲線的長半軸a為1、2、3、4個單位長度進(jìn)行計算機(jī)求解。通過計算機(jī)程序求解得到如圖 2（b）所示的結(jié)果。其中可以得到在從A點(diǎn)到B點(diǎn)變化過程中，橢圓曲線曲率半徑越來越大，而且曲率半徑的變化率先增大后減小。此外，數(shù)值求解結(jié)果在橢圓曲線的長半軸端點(diǎn)A和短半軸端點(diǎn)B的曲率半徑結(jié)果與理論值—和— 一致。

四、總結(jié)

平面曲線曲率半徑的運(yùn)動規(guī)律的應(yīng)用在生活中隨處可見。在科學(xué)研究領(lǐng)域，科學(xué)家利用這個規(guī)律來進(jìn)行如天體運(yùn)行、衛(wèi)星軌道勘測等動態(tài)研究；在制造業(yè)中，大多企業(yè)則利用此規(guī)律確定刀具切割方式來切割數(shù)據(jù)插孔和管道等日常必需品的形狀，從而將曲率半徑的演化規(guī)律運(yùn)用于實(shí)際中。

本文詳細(xì)分析了平面曲線曲率半徑的運(yùn)動學(xué)規(guī)律，同時通過計算機(jī)程序求解，進(jìn)一步研究了不同長短半軸比下的橢圓曲線曲率半徑的演化規(guī)律，橢圓曲線上從長半軸端點(diǎn)到短半軸端點(diǎn)演化的過程中，曲率半徑會逐漸增大，并在兩端點(diǎn)與理論值吻合一致。

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