函數(shù)在教材中的特點及教學建議

摘 要：函數(shù)是數(shù)學中最基本的概念之一，是微積分、級數(shù)理論、解析幾何、實變函數(shù)、復變函數(shù)等數(shù)學分支的主要研究對象，是中學及中學以上學生必修的內(nèi)容。在實際生活中函數(shù)應用十分廣泛，解決了很多領(lǐng)域中的難題并推進其發(fā)展。教材是學生學習的主要材料，是教師進行教學的主要依據(jù)。本文通過對初中、高中及大學三個階段數(shù)學教材中所涉及的函數(shù)內(nèi)容進行分析，總結(jié)了函數(shù)的概念、性質(zhì)、發(fā)展在三個階段中的變化，并依此對教師如何開展函數(shù)教學提出了切實的建議。

關(guān)鍵詞：函數(shù)；教材；教學建議

函數(shù)是數(shù)學中最基本的概念之一， 函數(shù)論①更是數(shù)學的基本組成部分，歐拉在《無限小分析引論》中明確指出 “數(shù)學分析②是關(guān)于函數(shù)的科學”。在笛卡爾正式引入變量以后，變量和函數(shù)等概念就日益滲透到解釋宇宙、光和熱的傳導、電磁揭秘以及探索天體運行規(guī)律等科技領(lǐng)域，僅僅一個高斯函數(shù)，在數(shù)學、自然科學、社會科學以及工程學等領(lǐng)域就都能看到它的身影。函數(shù)如此重要，其性質(zhì)、種類之多，內(nèi)容本身之抽象，應用之廣泛，決定了函數(shù)內(nèi)容在數(shù)學學習中的絕對重要地位。要想學好函數(shù)知識，相應的教材質(zhì)量無疑處于舉足輕重的地位。教材是根據(jù)課程計劃、課程標準和學生接受能力編寫的教學用書，是課程標準的具體化，是學生自學的有力輔助工具，更是教師進行教學的主要依據(jù)。優(yōu)質(zhì)的教材可以減輕師生課業(yè)負擔，可以為師生的教與學提供基本依據(jù)和規(guī)范，可以為學好函數(shù)知識打下良好的基礎(chǔ)。

一、函數(shù)在初中、高中、大學三階段教材中的特點

本文選取人民教育出版社的初中《數(shù)學》[1]、高中《數(shù)學：必修一》[2]

和同濟大學出版社的《大學數(shù)學：理工類》[3]這些運用廣泛的數(shù)學教材，對其函數(shù)內(nèi)容進行分析，歸納出以下特點。

1.概念界定不同

任何一門學科的知識都是由比較精確的概念構(gòu)成，概念的精確程度是學科成熟程度的標志。函數(shù)概念的發(fā)展是個漫長的過程，從古希臘時期阿基米德在《論數(shù)砂》中研究數(shù)列關(guān)系引出“變量”的觀念開始，到1673年德國數(shù)學家萊布尼茨首次提出“函數(shù)”（Function）概念，再到1837年德國數(shù)學家狄利克雷給出簡明精確、突出函數(shù)本質(zhì)的經(jīng)典定義③，眾多學者付出的艱辛與努力是不言而喻的。以下是上述三個階段教材中函數(shù)的概念：

初中：在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量（independent variable），y是x的函數(shù)（function）。

高中：一般的，我們有：設(shè)A、B是非空的集合，如果按照某種確定的對應關(guān)系f，使對于集合A中的任意一 個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)

f（x）和它對應，那么就有f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作 y=f（x），x∈A。其中，x是自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；它所對應y值叫函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。

大學：一般的，設(shè)x，y是兩個變量，當x在某個數(shù)集D（即x的取值范圍）內(nèi)取任意一個確定的值，按照某個確定的對應關(guān)系f，y都有唯一的值與x對應，那么我們就說x是自變量，y是變量x的函數(shù)，數(shù)集D是這個函數(shù)的定義域。我們通常將y是x的函數(shù)記作y=f（x），x∈D。當自變量x在定義域中去確定的值a時，它所對應的函數(shù)值記作f（a），所有函數(shù)的值組成的集合叫做函數(shù)的值域。

從上述概念中我們可以看到，三個階段的概念都突出了函數(shù)的本質(zhì)，即變量之間存在一一對應的關(guān)系。初中階段的函數(shù)概念為傳統(tǒng)定義，僅提到兩個變量間的簡單對應；學習了集合概念后，高中和大學階段的概念用的是現(xiàn)代定義，即兩個非空集合或某個數(shù)集間的對應。

2.自變量的個數(shù)及次數(shù)逐步增加

不管是自變量的個數(shù)還是次數(shù)發(fā)生變化，函數(shù)的本質(zhì)都沒變，依然是兩個變量之間的對應關(guān)系。對于自變量的個數(shù)，體現(xiàn)為依次增加。初、高中階段常見的有一元函數(shù)與二元函數(shù)。到大學階段，涉及自變量的個數(shù)超過兩個的函數(shù)我們稱之為多元函數(shù)；對于自變量的次數(shù)，同樣依次增加，常見的有一次函數(shù)和二次函數(shù)?？梢?，在函數(shù)本質(zhì)保持不變的情況下，自變量的個數(shù)和次數(shù)都在逐步增加。

3.內(nèi)容漸趨復雜且由具體變抽象

內(nèi)容的復雜程度增大：變量的個數(shù)與次數(shù)逐步增加也體現(xiàn)函數(shù)的復雜程度在增大。初中八、九年級我們只是簡單學習一次函數(shù)、二次函數(shù)、正比例、反比例的概念及解決相關(guān)變量之間對應關(guān)系的問題。到高中階段，除了學習相關(guān)概念，又認識了基本初等函數(shù)，接觸了函數(shù)的一些重要基本性質(zhì)。到大學階段，在前兩者的基礎(chǔ)上對函數(shù)的認識更深一步：認識了更多的初等函數(shù)，變量由一元變?yōu)槎?，函?shù)的性質(zhì)也被挖掘的更深更廣。在此過程中最重要的變化，毋庸置疑就是根據(jù)對解析幾何、物理等的直觀問題的需要，引出了人類智慧最偉大的成就之一[4]、人類精神的最高勝利——微積分的概念。

內(nèi)容由具體變抽象：初中和高中涉及得的章節(jié)都會有相應的實際問題與所學函數(shù)內(nèi)容相對應，比如，學習了三角函數(shù)知識就可以幫助解決如何把自己的庭院合理規(guī)劃的問題；學習了一元二次函數(shù)，就可以找出最值，當涉及利益時，就可以找到最優(yōu)值得到最大利益。而大學的重點在于對概念弱抽象①、性質(zhì)深化和內(nèi)容抽象化上，比如，在初中的概念中只是簡單點明函數(shù)的本質(zhì)，定義域或值域都沒有涉及，而在大學中明顯感覺接觸到了目不暇接的函數(shù)：橋函數(shù)、整函數(shù)、庫函數(shù)、波函數(shù)、罰函數(shù)、解析函數(shù)、廣義函數(shù)、半純函數(shù)、橢圓函數(shù)、格林函數(shù)、哈爾函數(shù)等。

4.應用更廣泛

函數(shù)的發(fā)展在很大程度上是基于物理、天文等學科上眾多問題的出現(xiàn)，這些學科重在揭示世界奧秘、解決社會實際問題，所以隨著各種難題的出現(xiàn)與解決，函數(shù)實際應用越來越廣泛。比如，初高中階段的函數(shù)知識可以幫助商人求得最大利潤、最佳實施方案，可以幫助建筑師求得最佳建地面積等；在大學階段我們學習得知，定積分、反常積分以及級數(shù)被應用到諸多領(lǐng)域：無窮積分在天體運動中的求解、定積分在物理學中求物體的做功以及傅里葉級數(shù)在信號的處理與傳輸方面的應用。隨著我們對函數(shù)的不斷深入學習，其涉及的領(lǐng)域愈加廣泛，應用領(lǐng)域逐漸拓展。

二、對教師教學的建議

函數(shù)知識在不斷發(fā)展，對應的教材也在不斷變化。如何使學生更好地掌握教材中的函數(shù)知識是教師教學的重難點?；诖?，探究教師開展高效函數(shù)教學的路徑就顯得尤為必要。

1.需有扎實深厚的函數(shù)知識儲備

教師的知識儲備直接反映學科知識結(jié)構(gòu)的內(nèi)在邏輯，教師如果掌握了函數(shù)的整個知識體系、知識本質(zhì)、知識來源和知識的發(fā)展情況，以及知識獲得的途徑和方法，對教材中函數(shù)內(nèi)容的整合、知識的篩選、及時發(fā)現(xiàn)缺陷并彌補缺陷將變得游刃有余。美國聯(lián)邦教師職業(yè)標準評定委員會規(guī)定，教師應該“對他們所教的科目有著豐富的理解，懂得該科目的知識體系是怎樣組織，怎樣發(fā)展起來，怎樣與其他科目相聯(lián)系，以及如何用到現(xiàn)實世界中去”。教師扮演著不可替代的角色，教師扎實深厚的函數(shù)知識儲備可以優(yōu)化教學效果，可以促進學生更好地學習。

2.需靈活處理教材中的函數(shù)知識

教師以教材為基礎(chǔ)教授學生知識，最基本也最重要的就是要領(lǐng)悟教材的編寫意圖、掌握教材的基本內(nèi)容，然后在此基礎(chǔ)上更優(yōu)化、更具創(chuàng)造性地使用教材。對于教材中的關(guān)于函數(shù)的內(nèi)容，任課教師通常會第一時間發(fā)現(xiàn)其中存在的問題或特殊現(xiàn)象，比如，發(fā)現(xiàn)初中階段教材和大學階段教材中出現(xiàn)內(nèi)容重疊的問題，發(fā)現(xiàn)初中、高中、大學三階段中皆多次提到信息技術(shù)與函數(shù)知識的結(jié)合的現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)有關(guān)函數(shù)的知識點在中學階段是重中之重。毋庸置疑，老師應該集思廣益，思考如何把函數(shù)與其他學科知識更好地融合在一起，如何把高深的知識簡單化以便讓學生們更好地理解、吸收，如何解釋教材中出現(xiàn)的重復內(nèi)容和額外教授學生如何運用信息技術(shù)處理函數(shù)圖像等。

3.需注意采用多種方式開展函數(shù)教學

函數(shù)內(nèi)容無疑越來越抽象、復雜，為了提高學生學習函數(shù)的興趣，教師也可使用多種方式開展函數(shù)教學。例如，體驗式教學。可讓學生自己親身經(jīng)歷“問題情境—建立模型—解釋、應用與拓展”的解決問題的方式，體驗自己動手、自主探索及與他人共同合作交流的學習過程，主動去發(fā)現(xiàn)、探索函數(shù)奧秘，不僅可以鍛煉思維能力，而且可以獲得研究問題的經(jīng)驗和技能，增強自信心。情景式教學。教師可模擬現(xiàn)實生活中話費套餐推銷員與顧客交談場景，教會學生如何利用所學函數(shù)知識找出最適合自己的話費套餐。翻轉(zhuǎn)課堂式教學。同學們提前利用互聯(lián)網(wǎng)上的各種優(yōu)質(zhì)資源對函數(shù)知識進行初步了解，然后在課堂上作為主體與老師互動，老師則根據(jù)學生遇到的學習困惑有針對性地進行教學、指導，進而提高教學效率。簡而言之，教師應多鼓勵學生在生活中主動收集有趣的、有意義的、富有挑戰(zhàn)的、與函數(shù)相關(guān)的材料，讓其從中真切體會函數(shù)在生活中的運用。

函數(shù)在自然科學領(lǐng)域和生活中都扮演著很重要的角色，教師既是教育實踐活動的主體又是學生學習的主要指導者，希望教師通過扎實深厚的函數(shù)知識功底，靈活運用多種教學方式和靈活處理教材中的函數(shù)知識，多方面提升學生學習函數(shù)的興趣，使學生更好地掌握函數(shù)知識。

參考文獻：

[1]課程教材研究所.數(shù)學教材教科書[M].北京：人民教育出版社，2014.

[2]課程教材研究所.普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學必修一[M].北京：人民教育出版社，2007.

[3]陳光曙.大學數(shù)學（理工類）[M].上海：同濟大學出版社，2010.

[4]恩格斯.自然辯證法[M].北京：人民教育出版社，1971.