以“做中學”發展學生的幾何直觀

摘 要：幾何直觀作為《2011版數學課程標準》新增的一個核心概念，無疑是對初中數學“重視直觀”的一道教學指令.借鑒“做中學”教學模式，立足眼見為實和經驗積累，通過畫圖操作、用紙折疊、學具制作、信息技術等操作性活動的引領，將學生的體驗學習、發現學習、接受學習融為一體，實現幾何直觀的有效發展。

關鍵詞：初中數學；做中學；動手操作；幾何直觀

幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。把它作為《2011版課標》新增的一個核心概念，無疑是對初中數學“重視直觀”的一道教學指令。究其原因，是因為初中幾何仍處于實驗幾何向論證幾何過渡的階段。因此，初中幾何教學是必以學生的動手操作為基礎，激發觀察、想象、探究和發現，誘導學生對操作過程與操作結果進行合理評價，從而提高學生利用圖形描述和分析數學對象的能力，進而發展學生的幾何直觀。這是一種融“體驗學習”、“發現學習”于一體的“做中學”數學實驗教學，值得我們去探索。

一、數學“做中學”的理解

1.動手操作，學為中心

歐拉說過：“數學這門科學需要觀察，還需要試驗。”“做中學”就是基于學生親自動手，在實驗操作中引發觀察、思考與評價，感悟數學概念、定理、公式的生成與發展，完善現有知識結構.主要包括畫圖、折紙、學具制作與信息技術等，它的精髓在于以學生為中心，能把間接的經驗和知識還原為活

的、有實用價值的知識。

案例1.浙教版七

上“4.1用字母表示數”拓展練習：如圖1，

將正方形紙片由下往上對折，再由左向右對折為完成一次操作，按上述規則完成五次操作后，剪去所得小正方形的左下角，問：展開這張正方形紙片后共有多少個小洞孔？

【解析】1次操作后，層數由1變4，剪去所得正方形左下角，展開后紙上只有一個洞孔，并在正方形中心。2次操作后，折紙層數為42，剪去所得小正方形左小角，展開后紙上有4（42-1）個洞孔.3次操作后，折紙層數為43，剪去所得小正方形左小角，展開后紙上有16（43-1）個孔。按上述規律不難推出：連續5次操作后，剪去所得小正方形左小角，展開后正方形紙上共有45-1=256個小洞孔。

【教學反思】引入動手操作，觀察實驗結果，通過結果分析、類比聯想、演繹規律、得出結論，這是解決復雜問題最為有效的方法與途徑。動手操作具體真實，其目的是借助幾何直觀輔助學生進入半抽象的數學思維，發展學生的幾何直觀。

2.揭示本質，眼見為實

幾何直觀是指通過幾何的手段，達到直觀地發現，實現描述和分析問題的目標。而幾何手段是指利用基本圖形，直觀地發現意在通過直觀洞察和空間想象揭示規律。因此，幾何直觀對學生而言是一種有效的學習方法，對教師而言是一種有效的教學手段。通過點、線、面、體所組成的幾何基本圖形，把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果，幫助學生直觀地理解數學。所以，幾何教學不能憑空推理，唯有基于學生的動手操作，圖文并茂，從而準確揭示數學本質，眼見為實，心領神會。

案例2.浙教版九上“3.4圓周角（1）”，研究同弧所對的圓周角與圓心角關系。

【教學設計】用幾何畫板

畫出弧AB所對圓周角∠ACB

和圓心角∠AOB（如圖2-1），猜想這兩個角有怎樣的數量關系？然后利用度量角度，驗證關系。再拖動點C，改變點C的位置（如圖2-2），驗證兩個角的數量關系是否變化？改變弧AB的大小，如圖2-3、2-4，驗證結論是否依然成立？

【教學反思】一連串的問題把學生帶入一個值得深思、富有挑戰的問題情境，引發學生的好奇心與參與熱情，各學習小組都能積極投入到結論的數學論證之中。這種教學方式，旨在發展學生的幾何直觀，不同于“把圓周角定理直接給學生，再加以推理證明”的教學。

3.經驗積累，發展幾何直觀

數學知識所表征的是事物的結構、關系、變化，以及人類理解世界獨特的思維方式。然而，數學的形式化特征遮蔽了數學知識的原初意義，于是，數學教學常常專注于知識的形式運演，忽視對知識意義的理解。因此，初中幾何教學要為學生的可理解而設計，通過動手操作幫助學生理解數學對象，為抽象思維提供豐富的“感覺映像”，也為邏輯推理提供有效的“思維媒介”。“感覺映像”與“思維媒介”的積累，是必成為發展學生幾何直觀的直覺源泉。

案例3.浙教版八上“2.5直角三角形”拓展應用.如圖3-1所示，在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，AC=BC，E、F為AB上兩點，且∠ECF=45°，求證：以線段AF、FE、 EB為邊可以構成直角三角形。

【解析】傳統解法如圖3-2所示，在∠ECF內部作CG=CB且∠GCE=∠BCE，連結GE，

GF，分別證明△GCE≌△BCE

和△ACF≌△GCF，從而得出

結論.雖能解決問題，但學生

會質疑三條輔助線的原初意義？

【教學設計】如圖3-3，將△BCE、△ACF分別沿CE、CF翻折180°，BC與AC剛好重合（依據∠ACB=Rt∠，∠ECF=45°），且∠A+∠B=90°， 所以AF、FE、 EB可以構成直角三角形。

【教學反思】 通過折疊，揭示添加輔助線的思維背景是軸對稱變換思想，由此對添線的原初意義茅塞頓開，催生解題靈感，發展幾何直觀。

二、數學“做中學”的類型

1.畫圖操作。動手畫圖是一種象征性的實物操作，在問題引領下，借助所作圖形的幾何直觀，揭示問題本質。幾何畫圖是一項數學基本功，由易到難，讓學生掌握一些基本圖形的畫法，如三角形、平行線、角平分線、中垂線、長方形、正方形、平行四邊形、長方體、正方體、圓、圓柱、圓錐等直觀圖形。

案例4.浙教版八下“第6章特殊平行四邊形”章節復習：（2013·無錫）已知點D與點A（8，0），B（0，6），C（a，-a）是一平行四邊形的四個頂點，則CD長的最小值為___________。

【教學設計】①建立直角坐標系；②畫出A、B兩點；③將點C（a，-a）轉換成二、四象限角平分線；④獨立探究與合作交流。

【設計意圖】畫出直角坐標系是解決此題的關鍵，啟發學生在問題解決的過程中要善于借助相關數學工具；畫二、四象限角平分線表示C（a，-a），滲透數形結合思想，發展幾何直觀；由于不能確定CD是平行四邊形的邊還是對角線，引出分類討論。

2.用紙折疊。折紙已經發展成為現代幾何學的一個分支，它不僅是少年兒童的玩具，更是一項有益身心、開發智力和誘發數學思考的實踐活動，因此也逐漸成了幾何教學的有效手段。

案例5.浙教版九上“3.2圓的軸對稱性1（垂徑定理）”.

【教學設計】折紙一：探索圓的軸對稱性。

（1）作⊙O的任意一條直徑AB，沿AB所在直線對折，

如圖4，你發現什么？

（2）相互交流，歸納發現：圓是軸對稱圖形，每一條直徑所在的直線都是對稱軸。

折紙二：探索垂徑定理.

（1）再作弦CD，并使CD⊥AB，沿AB所在直線對折，你發現有哪些點、線段、弧互相重合？

（2）相互交流，引出等弧和弧的中點定義；

（3）交流發現與推理證明；

（4）嘗試CE=DE的其他證明方法；

（5）用命題形式與幾何語言描述以上發現。

【設計意圖】折紙能夠發揮其直觀展示與橋梁作用，誘發思維跟進，有效地激發學生自主探索，發展創新思維，發揮興趣特長。同時，在描述數學發現的過程中發展幾何直觀。

3.學具制作。數學有效教學離不開學具的使用，學具的輔助功能使學生在學習相關內容時，感到真實具體、輕松有趣，它以直接的感性認識，達到事半功倍的教學效果。

案例6.浙教版七上“第6章圖形的初步知識”。

【簡析】紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行。這一章的圖形豐富多彩，但僅憑抽象圖形的教學，因缺少幾何直觀，學習效果肯定不好，不能發揮初中幾何起始章節承上啟下的作用。

【學具輔助】我讓學生在每節課前，用土豆、白蘿卜、番薯、卡片，切割或粘貼成圓柱、圓錐、正方體、長方體、三棱柱、三棱錐、球體等學具，學生在自制學具的過程中學會分析各幾何體的幾何特征，眾多“玩具”影響著學生的幾何直觀。

4.信息技術.進入21世紀，計算機已成為數學教學的嶄新手段，通過科學計算、數值模擬、圖像顯示等，化靜為動、變動為靜，或分解或連續地展示點、線的運動規律，實現直觀顯現和抽象思維的結合，成為發展幾何直觀的有效教學手段。

案例7.浙教版八上“2.6直角三角形”拓展提高：一架5米長的梯子AB豎立在墻上。求梯子下滑過程中，梯子中點運動的路程？

【教學設計】①獨立探究，靜默思考，

促進生本互動；②交流結果，相互評價，

促進生生互動；③操作演示，呈現動點，

促進人機互動。這一環節借助幾何畫板，

以A為圓心5米長為半徑畫弧，交另一直

角邊為B，A為主動點，B為被動點，讓

學生感受AB長不變.然后作出中點，并追蹤中點，如圖5；④學會數學地思考，發展幾何直觀。問：中點P沿C為圓心2.5米長為半徑的圓上運動，其數學原理是什么？

【設計意圖】由于思維定勢，很多學生認為P點經過的路線是兩直角邊中點的連線，在觀察中引起認知沖突，引發數學思考，綜合數學原理，實現自主生成，發展幾何直觀。

三、 數學“做中學”的實踐反思

數學“做中學”是在一定的教學情境下，讓數學知識的生成與發展按操作程序直觀地展示出來，給學習者留下深刻的印象，有效地發展學生的幾何直觀。實踐告訴我們，“做中學”教學遵循人的認知規律，符合中學生的心理特點。實現通過變革教師的教學方式，將學生的體驗學習、發現學習、接受學習交錯融通。

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