具有強(qiáng)迫項的有限時滯Lienard方程周期解的存在性

黃　勇,　黃燕革

(百色學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機(jī)信息工程系, 廣西 百色 533000)

?

具有強(qiáng)迫項的有限時滯Lienard方程周期解的存在性

黃勇,黃燕革

(百色學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機(jī)信息工程系, 廣西 百色 533000)

摘要:利用Mawhin延拓定理證明，構(gòu)造新算子，使用新技巧,研究了一類具有強(qiáng)迫項和有限時滯的二階Lienard方程

的周期解問題,得到了方程至少存在一個周期解的充分條件,獲得了新的結(jié)論.

關(guān)鍵詞:強(qiáng)迫項; 時滯; Lienard方程; 周期解; Mawhin延拓定理

關(guān)于具有有限時滯Lienard方程

(1)

和關(guān)于具有強(qiáng)迫項的Lienard方程

(2)

的周期解的存在性的研究已有許多(參見文獻(xiàn)[1-22]及其參考文獻(xiàn)).據(jù)我們所知,研究同時具有強(qiáng)迫項和有限時滯的Lienard方程周期解的存在性還不多見.

本文研究如下一類同時具有強(qiáng)迫項和有限時滯Lienard方程

(3)

的周期解的存在性問題,其中,f1(x)、f2(x)和g(x)是定義在R=(-∞,+∞)上的連續(xù)實函數(shù),常數(shù)τ≥0,e(t)是周期為T的連續(xù)函數(shù),即對于常數(shù)T>0,e(t+T)=e(t).利用Mawhin延拓定理給出方程(3)存在周期解的一些充分條件.

1假設(shè)與引理

為研究方便,把方程(3)轉(zhuǎn)化為以下等價方程組

(4)

其中

常數(shù)τ≥0.

這樣,研究方程(3)就轉(zhuǎn)化為研究方程(4).為利用Mawhin延拓定理[23],考慮Banach空間Z中的算子方程

(Eλ)

其中,L:domL∩Z→Z是一個線性算子,N:Z→Z是一個連續(xù)的算子和λ∈[0,1]是一個參數(shù).

相應(yīng)于方程(Eλ)有

因此,關(guān)于方程組(4)的周期解的存在性問題被轉(zhuǎn)化為當(dāng)λ=1時,方程組(5)在Z中的周期解的存在性問題.

如果

dim KerL=codim ImL<+∞,

并且ImL在Z中閉,則算子L稱為指標(biāo)為零的Fredholm算子[24].

如果L為指標(biāo)為零的Fredholm算子,則存在連續(xù)投影算子P、Q分別為:

P:Z∩domL→KerL,

Q:Z→Z/ImL,

且有

ImP=KerL,KerQ=ImL.

因此有

L|dom L∩Ker P:domL∩KerP→ImL

是一個一一映射且具有連續(xù)廣義逆kp及

J:Z/ImL→KerL

是一個同構(gòu).

1)LX≠λNX,?X∈?Ω∩domL,λ∈(0,1),

2)QNX≠0,?X∈?Ω∩KerL,

3) deg{JQN,Ω∩KerL,0}≠0;

則

為了討論方程(4)的周期解存在性問題,記

并在Z中定義范數(shù)

其中

易證,在此范數(shù)下Z為Banach空間.定義

易證

dim KerL=codim ImL=2

且ImL為Z的閉子空間,故知L為指標(biāo)為零的Fredholm算子.

2主要結(jié)果

定理假設(shè)f1(x)、f2(x)和g(x)是定義在R=(-∞,+∞)上的連續(xù)實函數(shù),e(t)是周期為T的連續(xù)函數(shù),并且以下條件成立:

(A1)f2(x)在R上有界,存在常數(shù)b>0,使

(A3)f1(x)>0,且

則方程組(4)至少存在一個周期為T的周期解.

證明第1步:證明當(dāng)λ∈(0,1)時,對于方程(5)的任意一個T周期解

一定存在正數(shù)M>0,使得對所有的t∈[0,T]有

先證明第一個分量x(t)≤M1,常數(shù)M1>0.由(5)式的第2個方程積分得

(6)

由假設(shè)條件(A1)和(A2)可以確定必存在t0∈[0,T],使得

(7)

現(xiàn)記

以下證明存在M1>0,使x(t*)

事實上,如果x(t*)≤d,取M1>d,結(jié)論顯然成立.若x(t*)>d,結(jié)合(7)式知存在包含t*的區(qū)間[α,β],這里α=α(x,λ),β=β(x,λ),且β-α

(8)

(9)

(10)

這樣由(5)式的第一個方程及(9)式得

(11)

從而存在ξ∈[α,β],使

(12)

現(xiàn)記|u|q表示Lq([α,β],R)中的范數(shù),其中1≤q<+∞,即

可得

(13)

將方程(5)的第1個方程寫為

得到

(14)

另一方面有

(15)

代入(15)式得到

其中,k為滿足00與x、λ無關(guān).

將(14)同(15)及(16)式相比較,分別得到

和

由條件(A3)知道,無論上述哪種情況,均存在常數(shù)c2>0,使得

從而

(19)

令

則c3是獨立于x,λ的常數(shù),讓M1≥c3,這樣已經(jīng)證明了存在常數(shù)M1≥0,使

從而第1個分量

下面證明,在上述前提下,第2個分量y(t)≤M2,常數(shù)M2>0,且存在常數(shù)M>0,使

事實上,由條件(A1)、(A2),可以得到

其中-d≤x≤M1.由于

為一個常數(shù),令

則

因此由(5)式的第2個方程有

則由(12)式和x(t*)的做法,容易得到

(21)

即證明了存在正數(shù)M2>0,M2=c1+2c4,使第2個分量

用x′(t)乘以(5)式的第1個方程,并在[0,T]上積分得

即

故

(22)

因此,由(7)和(22)式得

(23)

均有‖X(t)‖≤M.

第2步:為利用引理1,記

L:domL∩Z→Z是一個線性算子,N:Z→Z是一個連續(xù)的算子,則L為指標(biāo)為零的Fredholm算子,在前面范數(shù)規(guī)定下Z為Banach空間.定義連續(xù)投影算子P、Q為

則有

ImP=KerL,KerQ=ImL,

且

L|dom L∩Ker P:domL∩KerP→ImL

是一個一一映射且具有連續(xù)廣義逆kp及Z/ImL→KerL是一個同構(gòu),記為J.kp由下式給出

根據(jù)以上證明,顯然Ω滿足引理1中的條件1)的要求.

現(xiàn)在設(shè)

則X是一個在R2中的常矢且‖X‖=M.如果|x|>d,由條件(A2)、(19)和(22)式獲得

如果|x|≤d,由

有

得到

因此,無論哪種情況都有

(24)

這樣,引理1中的條件2)滿足.

現(xiàn)定義連續(xù)算子B:Ω→Ω,BX=(y,-x)T,根據(jù)Ω定義,Ω關(guān)于原點對稱,且當(dāng)X=(x,y)T∈?Ω∩KerL時,

由引理2有

deg{B,Ω∩KerL,0}≠0.

作一個函數(shù)

φ(X,u)=uBX+(1-u)QNX=

引理1中的條件3)滿足.

這樣,Ω滿足引理1的全部條件.故由引理1,算子方程LX=NX在Banach空間Z至少有一個解.這樣我們已經(jīng)證明方程組(4)至少存在一個T周期解.定理證畢.

3應(yīng)用舉例

考慮方程

(25)

因為

參考文獻(xiàn)

[1] HERDEN U A. Periodic solutions of a nonlinear second order differential equations with delay[J]. J Math Anal Appl,1979,70:599-609.

[2] HALE J K. Theory of Functional Differential Equations[M]. New York:Springer-Verlag,1977:5-25.

[3] HALE J K. Introduction to Functional Differential Equations[M]. Berlin:Springer-Verlag,1977:11-30.

[4] KUANG Y. Delay Differential Equations with Applications in Population Dynamics[M]. New York:Academic Press,1993:8-16.

[5] LIAO X X . Theory and Application of Stability for Dynamical Systems[M]. Beijing:Defence Industrial Press,2000:35-46.

[6] 魏俊杰,黃啟昌. 關(guān)于具有限時滯Lienard方程周期解的存在性[J]. 科學(xué)通報,1997,42(9):906-909.

[7] 陳紅斌,李開泰,李東升. Lienard方程周期解的存在唯一與唯二性問題[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)報,2004,47(3):417-424.

[8] 陳世哲,陳仕洲. 具有兩個偏差變元的Lienard型方程的周期解的存在唯一性[J]. 科技通報,2012,28(11):11-15.

[9] 陳仕洲. 一類Lienard型p-Laplacian方程周期解的存在唯一性[J]. 數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識,2013,43(8):244-253.

[10] 陳月紅. 具有兩個偏差變元的Lienard型方程周期解的存在性[J]. 數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識,2014,44(18):315-320.

[11] 鄧偉,蒲志林. 一類中立型 Duffing 方程的周期解[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2012,35(5):585-588.

[12] 董寧青,安天慶,艾孜瑪洪·努爾別克. 二階非自治(q,p)-Laplace方程周期解的存在性[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2012,35(5):607-609.

[13] 汪小明. 一類具時滯高階泛函微分方程的周期解[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2014,37(4):519-523.

[14] 張莉,黃先開,葛渭高. 一類中立型泛函微分方程周期解的存在性[J]. 北京理工大學(xué)學(xué)報,2011,31(12):1489-1492.

[15] 程志波,向上.P-laplacian類Dufing方程正周期解的存在性與唯一性[J]. 鄭州大學(xué)學(xué)報(理學(xué)版),2013,45(2):1-5.

[16] 黃勇,姚曉潔,秦發(fā)金. 一類二階微分方程周期解的存在性和唯一性[J]. 廣西民族大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2014,20(4):46-53.

[17] 田德生. 三階常系數(shù)擬線性泛函微分方程的周期解[J]. 純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2013,29(3):233-240.

[18] 陳新一. 具偏差變元高階泛函微分方程周期解的存在定理[J]. 西北民族大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2013,34(90):1-7.

[19] 陳新一. 高階非線性中立型泛函微分方程周期解的存在性[J]. 山東大學(xué)學(xué)報(理學(xué)版),2011,46(8):47-51.

[20] 殷雪劍,路召飛. 二階時滯微分方程周期解的存在唯一性及數(shù)值解法[J]. 重慶工商大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2011,28(4):334-338.

[21] 韋煜明,王勇,唐艷秋. 具P-laplacian算子時滯微分方程邊值問題解的存在唯一性[J]. 廣西師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2012,30(2):48-53.

[22] 陳楷城. 二階非線性中立型泛函微分方程周期解的存在性[J]. 數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識,2014,44(3):268-273.

[23] GAINES R E, MAWHIN J L. Coincidence Degree and Nonlinear Differential Equations[M]. Berlin:Springer-Verlag,1977:6-12.

[24] DEIMLING K. Nonlinear Functional Analysis[M]. Berlin:Springer-Verlag,1985:21-33.

[25] OMARI P, VILLARI G, ZANOLIN F. Periodic solutions of the Lienard equation with one-side growth restrictions[J]. J Diff Eqns,1987,67:278-293.

2010 MSC:34C25

(編輯余毅)

The Existence of Periodic Solutions for a Class of Forced and Finite Delayed Lienard Equations

HUANG Yong,HUANG Yan’ge

(DepartmentofMathematicsandComputerInformationTechnology,BaiseCollege,Baise533000,Guangxi)

Abstract:In this paper, a new operator is constructed by using the Mawhin’s continuity theorem. The periodic solutions to a class of forced and finite delayed second-order Lienard equations of the form x″(t)+f1(x)x′(t)+f2(x)(x′(t))2+g(x(t-τ))=e(t) are studied. Some sufficient conditions for the existence of periodic solutions are given.

Key words:forced; delayed; Lienard equations; periodic solution; Mawhin’s continuity theorem

doi:10.3969/j.issn.1001-8395.2016.01.020

中圖分類號:O157.6

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號:1001-8395(2016)01-0111-06

作者簡介:黃勇(1961—),男,教授,主要從事微分方程的研究,E-mail:huangyong861@sohu.com

基金項目:廣西自然科學(xué)基金(2013GXNSFAA019022)和廣西高校科研項目基金(2013YB243)

收稿日期:2015-05-12