基于Hilbert空間有界線(xiàn)性算子方程等價(jià)性的研究

范大付

(百色學(xué)院 教務(wù)處, 廣西 百色 533000)

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基于Hilbert空間有界線(xiàn)性算子方程等價(jià)性的研究

范大付

(百色學(xué)院 教務(wù)處, 廣西 百色 533000)

摘要:有界線(xiàn)性算子方程解的性質(zhì)在計(jì)算中是十分必要的.在Hilbert空間上,研究有界線(xiàn)性算子解的等價(jià)性.將該系統(tǒng)變得更加簡(jiǎn)單更加便于求解.通過(guò)算子的分塊技術(shù),將算子分成等價(jià)形式,且利用Moore-Penrose 逆來(lái)表示,最終給出了線(xiàn)性算子方程的一些簡(jiǎn)單等價(jià)形式.

關(guān)鍵詞:Hilbert空間; 算子方程; Moore-Penrose逆

設(shè)H、K為Hilbert空間,且H(H,K)表示所有由H到K的有界線(xiàn)性算子的集合.當(dāng)H=K時(shí),H(H)=H(H,K).對(duì)于有界線(xiàn)性算子A∈H(H,K),R(A)和N(A)分別表示A的值域和零空間.設(shè)A*表示算子A的共軛轉(zhuǎn)置.設(shè)I和0分別表示單位算子和零算子.對(duì)于有界線(xiàn)性算子A∈H(H,K)且R(A)是閉的,存在唯一有界線(xiàn)性算子X(jué)∈H(K,H)滿(mǎn)足:

AXA=A,XAX=X,

則X稱(chēng)為A的Moore-Penrose逆,表示為X=A?(見(jiàn)文獻(xiàn)[1]).

近年來(lái),Hilbert空間上的算子方程的研究已經(jīng)被國(guó)內(nèi)外許多研究學(xué)者關(guān)注和研究.文獻(xiàn)[2-6]研究了有限維下著名的Sylvester方程AX-AX=0的解.文獻(xiàn)[7-8]研究了更一般的Sylvester方程.文獻(xiàn)[9]研究了方程AX+AXT=0的解以及在軌跡理論上的應(yīng)用.文獻(xiàn)[10-11]將矩陣方程ATX+XTA=B推廣到無(wú)限維空間H(H此時(shí)表示希爾伯特空間)上的算子方程A*X+X*A=B,且討論了當(dāng)算子A的值域是閉時(shí)給出了方程有解的充要條件.文獻(xiàn)[12]研究了算子方程(A*)nX+X*An=B的解.文獻(xiàn)[13]研究了混合的Sylvester方程的可解性條件和廣義解.文獻(xiàn)[14]研究了耦合的廣義Sylvester矩陣方程.文獻(xiàn)[15-18]研究了在Hilbert C*-模上自伴算子方程的解.

本文研究Hilbert空間上有界線(xiàn)性算子方程等價(jià)性.利用算子的分塊技術(shù)和Moore-Penrose逆,給出算子方程的齊次的等價(jià)形式,這樣使得算子方程更簡(jiǎn)單且更適合求解.給出下面2類(lèi)方程的等價(jià)形式:

(i) 設(shè)A∈H(H,K)和C,X,Y∈H(K,H).若CAA?=A?AC,B=B*,給出

(1)

的等價(jià)形式.

(ii) 設(shè)A,C∈H(H,K)和R(A)是閉的,且X,Y∈H(K).若CAA?=A?AC和B=B*,給出

(2)

的等價(jià)形式.

引理 1[1]若A∈H(H,K)且R(A)是閉的,則A表示為

(3)

其中A1是可逆的,進(jìn)一步,A?存在,且可表示為

(4)

1主要結(jié)論

基于Hilbert空間研究有界線(xiàn)性算子方程等價(jià)形式.主要推導(dǎo)了方程(1)和(2)的特殊的等價(jià)形式,以便得到更適合實(shí)際應(yīng)用的形式.

(5)

由(5)式,則

(6)

2) 設(shè)F:(X,Y)|→(UXU-1,VYV-1).由于U、V非奇異,則F是滿(mǎn)射的且單射的.顯然,F為(X,Y)和(UXU-1,VYV-1)間的一個(gè)同構(gòu)映射.

推論 1若定理1中H=K和U=V,則:

定理 2設(shè)A∈H(H,K)和C,X,Y∈H(K,H)滿(mǎn)足方程(1).設(shè)R(A)是閉的,且CAA?=A?AC,B=B*.若存在Q∈H(K,K)使得Y=XQ,則方程(1)的解等價(jià)于

(7)

證明設(shè)空間H、K的分塊分別為:

(8)

因?yàn)镽(A)閉的和由引理1,則

(9)

由引理1,則A是Moore-Penrose可逆的且

由(9)式且CAA?=A?AC,則C、B的分塊為:

(10)

同理,將X、Y分別表示為:

(11)

將(9)～(11)式代入方程(1),則

(12)

同時(shí)

(13)

由B=B*,以及(12)和(13)式,則

(14)

和

(15)

由(14)和(15)式,所以

(16)

若存在

使得

則(16)式可寫(xiě)為

進(jìn)一步有

(17)

由(17)式得

定理 3設(shè)A∈H(H,K)和C,X,Y∈H(K,H)滿(mǎn)足方程(1)和R(A)是閉的,且CAA?=A?AC,B=-B*.若存在Q∈H(K,K)使得Y=XQ,則方程(1)的解等價(jià)于

證明由B=-B*,以及(12)和(13)式,則

(18)

和

(19)

由(18)和(19)式,則

(20)

則(20)式等價(jià)于

進(jìn)一步有

(21)

由(21)式得

定理 4設(shè)A,C∈H(H,K)和X,Y∈H(K)滿(mǎn)足(2)式,若R(A)是閉的且CAA?=A?AC和B=B*,則(2)式等價(jià)于

其中

證明因?yàn)镽(A)是閉的和引理1,則A?存在且有分塊為

(22)

由CA?A=AA?C,則

(23)

同理有

(24)

將(22)～(24)式代入方程(2),則

(25)

因此

(26)

由(25)和(26)式,則

和

進(jìn)一步,分別得

其中

由B=B*,則

因此有

和

其中

定理 5若定理4中B=-B*,則方程(2)的解等價(jià)于

其中

2例

下面給出定理2的一個(gè)數(shù)值算例.

例 1設(shè)方程(1)中

和

則方程(1)有解:

另外,設(shè)

和

可驗(yàn)證:Y=XQ且‖XM-M*X*‖∞=0.001 7.反之,可驗(yàn)證‖XA+CA-B‖∞=0.005 5.因此,可知(X,Y)滿(mǎn)足方程(1)當(dāng)且僅當(dāng)X滿(mǎn)足方程(7).

參考文獻(xiàn)

[2] REHMAN A, WANG Q W, HE Z H. Solution to a system of real quaternion matrix equations encompassingη-Hermicity[J]. Appl Math Comput,2015,265:945-957.

[3] FERNANDO D T. The solution of the equation AX+BX*=0[J]. Linear Multilinear Algebra,2013,61(12):1605-1628.

[4] FERNANDO D T, DOPICO F M, GUILLERY N, et al. The solution of the equation AX+X*B=0[J]. Linear Algebra Appl,2013,438(7):2817-2860.

[5] GARCIA S R, SHOEMAKER L. On the matrix equation XA+AXT=0[J]. Linear Algebra Appl,2013,438(6):2740-2746.

[6] CHAN A, GERMAN L, GARCIA A, et al. On the matrix equation XA+AXT=0(II):type 0-iinteractions[J]. Linear Algebra Appl,2013,439(12):3934-3944.

[7] HUANG L J, WANG Q W, ZHANG Y. The Moore-Penrose inverses of matrices over quaternion polynomial rings[J]. Linear Algebra Appl,2015,475:45-61.

[8] ZHOU B, LAN J, DUAN G R. Toward solution of matrix equation X=Af(X)B+C[J]. Linear Algebra Appl,2011,435(6):1370-1398.

[9] FERNANDO D T, DOPICO F M. The solution of the equation XA+AXT=0 and its application to the theory of orbits[J]. Linear Algebra Appl,2011,434(1):44-67.

[10] DRAGAN S D. Explicit solution of the operator equation A*X+X*A=B[J]. J Comput Appl Math,2007,200(2):701-704.

[11] DRAGANA S C. The solutions of some operator equations[J]. J Korean Math Soc,2008,45(5):1417-1425.

[12] TIAN X G, WANG S Y. Positive and real-positive solutions of the operator equation AX-XA*=B[J]. Pure Appl Math,2010,26(6):1047-1052.

[13] WANG Q W, HE Z H. Solvability conditions and general solution for mixed Sylvester equations[J]. Automatica J IFAC,2013,49(9):2713-2719.

[14] WANG Q W, HE Z H. Systems of coupled generalized Sylvester matrix equations[J]. Automatica J IFAC,2014,50(11):2840-2844.

[15] DONG C Z, WANG Q W, ZHANG Y P. The common positive solution to adjointable operator equations with an application[J]. J Math Anal Appl,2012,396(2):670-679.

[16] SONG G J. Common solutions to some operator equations over HilbertC*-modulesandapplications[J].LinearMultilinearAlgebra,2014,62(7):895-912.

[17]SONGGJ,WANGQW.PositiveandrepositivesolutionstosomesystemsofadjointableoperatorequationsoverHilbertC*-modules[J].ElectronJLinearAlgebra,2011,22:1070-1084.

[18]WANGQW,DONGCZ.ThegeneralsolutiontoasystemofadjointableoperatorequationsoverHilbertC*-modules[J].OperMatrices,2011,5(2):333-350.

[19] 范大付.Banach空間上算子方程的解[J]. 山東大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版),2013,48(2):105-110.

2010 MSC:15A09; 47L30

(編輯余毅)

Research on Equivalence of the Solutions for the Operators Equation over Hilbert Space

FAN Dafu

(Dean’sOffice,BaiseCollege,Baise533000,Guangxi)

Abstract:The properties of boundary linear operator equations are very necessary in scientific computation of the linear systems. Based on Hilbert space, we consider the equivalence of the solutions for the linear bounded operator systems. The systems are written into a simple and equivalent systems. The main advantage is that the systems can be solved easily. By introducing the block technology of operator, the operator can be written into an equivalent form. Finally, we present some simple equivalent expression form of the linear bounded operator systems by using Moore-Penrose inverse.

Key words:Hilbert Space; the operator equation; the Moore-Penrose inverse

doi:10.3969/j.issn.1001-8395.2016.01.021

中圖分類(lèi)號(hào):O151

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號(hào):1001-8395(2016)01-0117-06

作者簡(jiǎn)介:范大付(1974—),男,講師,主要從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、概率與統(tǒng)計(jì)的研究,E-mail:459990654@qq.com

基金項(xiàng)目:廣西高校科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(2013LX146)、廣西自然科學(xué)基金(2014GXNSFAA118030)和廣西高等教育本科教學(xué)改革工程項(xiàng)目(2015JGZ160、2015JGB376)

收稿日期:2015-06-01