抓住數學本質 滲透數學思想
——《解決問題的策略（畫線段圖）》教學

周道鑫（特級教師）

【教學內容】

蘇教版四年級下冊第48～49頁。

【教學目標】

1.使學生初步認識畫圖的策略，能畫線段表示實際問題的條件和問題，學會利用直觀圖分析數量關系，說明解決問題的思路，并正確列式解答。

2.使學生經歷畫線段圖表示題意、分析數量關系的過程，體會畫圖的作用，培養利用幾何直觀、判斷、推理等思維能力，提高分析數量關系、解決問題的能力。

3.使學生主動探索問題解決，獲得成功的感受；進一步感受一些數學實際問題的特點，體會數學方法的作用，產生對數學方法的興趣，提高學習數學的積極性。

【教學重點、難點】

掌握畫線段圖解決問題的策略；分析線段圖找到解決問題的策略，理解三種不同方法的本質。

【教學過程】

一、引入課題

師：看到大屏幕，你知道我們今天主要學習什么內容？

生：解決問題的策略。

師：你知道什么是策略？

生：策略就是方法，解決問題的思路。

師：策略對解決問題有什么幫助？

生：能幫助我們理解題意，容易理清思路。

生：能更好地分析題目中的數量關系。

生：比文字更簡潔、直觀、好看。

師：那我們已經學會哪些解決問題的策略？

生：四年級上學期學習了列表整理條件。

生：三年級時研究和倍、差倍的問題時學習畫線段圖的策略。

師：今天，我們將繼續使用這些策略來解決新的問題。（板書課題）

【設計意圖：學習本課之前，學生已經學習了列表和畫圖兩種解決問題的常用策略，其主要作用在于促進正確理解題意，幫助分析數量之間的聯系，形成解題思路。引入課題談話部分就是喚起學生對舊知的回憶，初步感受策略對解決問題的應用價值，放大學生學習解決問題策略的心理效應，產生一種要學會其技能并逐漸內化成自己解決問題的策略的心理需求，為新課學習做好知識準備和積極的心理暗示。】

二、自主探究

1.出示準備題。

小寧和小春共有72枚郵票。兩人各有郵票多少枚？

師：你獲得什么信息？你認為兩人各有郵票多少枚？

生：兩人各有36枚郵票。

師：你是怎么想的？

師：他是假設小寧和小春兩人的郵票枚數相等，直接用72÷2，求出兩人各有郵票36枚。每人一定是36枚嗎？還有沒有其它的可能？可能是70枚和2枚嗎？

生：可能。也可能小寧30枚，小春42枚。

生：還可能小春30枚，小寧42枚。

師：也就是說這里有好多種可能，你有什么想法？

生：這題的條件不全面，還應該再補充一個條件。

師：說的好，僅靠“共有72枚郵票”這一個條件，我們不能得到確定的答案。

【設計意圖：利用解決問題的策略來培養學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力。很多時候教學效果不佳其主要原因是發現問題和分析問題兩個方面。所研究的問題大多是條件封閉，答案唯一，解決這類問題就在限定的幾個條件中找不同的數量關系，難以培養學生的創新能力，也難以顧全學生四種能力的培養。通過準備題，讓學生直接掉入慣性思維和直覺思維的陷阱：72枚郵票兩人平均分，各36枚數量相等，這是一種常規思維。“每人一定是36枚嗎？”引導學生質疑，通過理性思考，讓學生在思辨中分析問題和發現問題。】

2.教學例1。

小寧和小春共有72枚郵票，小春比小寧多12枚。兩人各有郵票多少枚？

（1）了解題意。

師：增加一個條件，請你讀讀，你獲得了哪些信息？（根據學生回答，條件和問題）

師：72枚、12枚分別表示什么意思？問題呢？

師：看來這題是已知兩個量的和與差，來分別求這兩個量。

師：這個問題與剛才的假設相比，你認為如何？

生：條件多了，原來兩個數量相等，現在兩個數量不相等。

生：數量關系也變得復雜了。

師：條件增加了，數量關系也變復雜了，你打算用什么策略來解決這一題？（畫圖）都同意畫圖，那就在你的練習本上試著畫出它的線段圖。

（通過與準備題比較，找到題中的條件和問題，從而發現此類問題的基本特征：已知兩個量的和與差，分別求兩個量，也就是和差問題。通過與準備題的假設比較，發現兩個量不相等，不是簡單的平均分）

（2）學會畫圖。

師：我們來欣賞一下老師隨機選取的幾位同學所畫的圖，你對這些圖有什么評價？

根據學生的回答強調：兩個量要用兩條線段表示，和誰比，就應該先畫誰，要畫出所有的條件和問題。

師：老師也畫了一個，畫的方法與你的比較一下。如有不完整或錯誤的地方請修改一下，好嗎？

師：從圖上看，你能明白問題的意思嗎？（學生說）

師：看來題目中的文字已屬畫蛇添足了，老師把它去掉，你還能說說這題的意思嗎？圖和文字相比，有什么優勢？（能直觀、清楚地看出條件和問題）

【設計意圖：形成解決問題的策略需要一個較長的過程，掌握解決問題的某種具體方法是這個過程的主線。這就是說，形成畫圖策略，應該讓學生了解畫圖、學會畫圖、體驗畫圖、自覺運用畫圖。通過試畫、展評、范畫、修改等環節讓學生學會最基本的畫圖方法，通過圖文比較，隱去文字，根據線段圖復述題意，讓學生切身體驗到畫線段圖的簡潔、直觀，體會畫圖對解題的積極作用。】

（3）讀圖分析。

師：只看線段圖就能完全理解題意，可怎么解決這個問題，從圖上能找到方法嗎？和你的同桌商量商量（學生討論）。

學生匯報：

方法一：小春減少12枚，就和小寧相等了，總數也要減少12枚，變成60枚，正好就是小寧的2倍，可以先求出小寧是30枚，再求出小春的枚數。

師：你是從哪里看出來的？還有誰聽懂了他的思路？（根據學生回答，配合動畫展示）

方法二：小寧增加12枚，就和小春相等了，總數也要增加12枚，變成84枚，正好是小春的2倍，可以先求出小春是42枚，再求出小寧的枚數。

師：你是從哪里看出來的？還有誰聽懂了他的思路？（根據學生回答，配合動畫展示）

方法三：把小春比小寧多的12枚平均分成兩份，每份6枚。將其中的一份枚送給小寧，兩人的郵票枚數也變得相等，總數還是72枚平均分，分別是36枚。小寧借來的6枚去掉，小春借出的6枚再要回來，就能求出兩人各有郵票多少枚。

師：這種方法與眾不同，郵票總數不變，把小春多12枚的一半借給小寧，兩人枚數也實現了相等，很有創意，讓我們把掌聲送給他（配合動畫演示）。

師：經過剛才的討論，我們發現了三種不同的解決辦法。第一種是總數減少12枚，第二種是總數增加12枚，第三種是將12枚平均分。雖然方法不同，但解題思路有沒有相同的地方？

生：都是把兩個數量不相等變得相等。

師：對，從圖上看得非常清楚，兩條線段不等，在不等變得相等的過程中，我們也順利找到了解決問題的辦法。

【設計意圖：解決問題常強調“多樣化”和“最優化”。通過交流不同人的思考，相互理解各人的解題計劃，體現解決問題方法多樣化，從而實現讓不同的人在數學上得到不同的發展。通過不同方法的比較，選出最簡便、最普遍、最好理解的一種方法，這就是最優化。在強調多樣化和最優化的同時，還應突出“歸納化”。即通過不同方法的類比、融合，歸納、總結出所有方法的本質。恰如例題中三種解法的研究：結合線段圖比較，都是把兩條不等的線段，通過增、減、分不同的方式，實現兩條線段的相等。把兩個數量不相等變得相等，就是解決和差問題的精髓。教師教學必須要抓住數學的本質，通過“本質”這條主線來串起不同的解法，滲透歸納類比的數學思想和“變中不變”的哲學思想。當然研究“和差問題”更不能簡單的公式化：（和+差）÷2=大數、（和-差）÷2=小數，這純屬淪為一種簡單的模仿。】

（4）解答檢驗。

師：三種不同的解題思路，你喜歡哪一種？請用算式把你的解法寫下來，看誰最先算出它們的結果，并能結合圖說說你每步算式表達什么意思。

交流：你選擇哪一圖來說說你的算式和想法。

師：同學們用了不同的解法，都得到了相同的結果，說明我們的答案是對的。除了這樣可以檢驗外，我們還可以怎么檢驗？（把得數代入原題）

生：看他們的和是否等于72。

師：我們檢驗看看42+30=72，和等于 72，就能說明解題正確了嗎？那開頭的猜想70+2也等于72，可為什么70和2卻是錯誤的？

生：我們還要檢驗他們的差是不是 12，42-30=12。

師：看來我們既要檢驗兩個數量的和是不是72，又要檢驗它們的差是不是12，只有兩個條件同時滿足，才能確定答案是否正確。

【設計意圖：檢驗方法多種多樣，應該根據實際問題的特點選擇檢驗方法，使檢驗既有效又較簡便。和差問題的檢驗適宜“把得數代入原題”，通過與準備題的猜想相比較，讓學生感受到得數必須滿足題中所有的已知條件，結果才正確。從課堂結構看，也是前后呼應，再次感受到分析問題和發現問題的必要。】

（5）回顧反思。

師：回顧一下解決問題的全過程，我們主要應用了什么策略？你對線段圖有什么體會？

生：畫線段圖能使數量關系更直觀、更清楚。

生：看線段圖分析數量關系，容易找到解題方法。

生：把得數代入原題檢驗，要符合所有已知條件。

師：看來大家已經深切地感受到畫線段圖這個策略給我們帶來的好處，能幫助我們理解題意、分析數量關系，進而找到解決問題的思路和方法。你會用這種策略來解決一些實際問題嗎？

（回顧解決問題的過程，體驗畫圖方法，感受畫圖策略）

三、鞏固應用

師：看圖說題意，和例題相比有什么不一樣？

師：根據線段圖你能解決這個的問題嗎？

（學生列式解答，交流解題思路，強調檢驗方法）

師：這題有選擇第三種解法的嗎？（沒有）為什么？

生：因為“15 本”是單數，不好平均分。

師：看來，解題要根據實際情況，選擇較為恰當的方法。

（這道題培養看線段圖的能力。讓學生看圖說出圖意，就把線段圖表示的數學信息轉換成語言表達的信息，這樣就能在線段圖的直觀影響下，形成自己對題目的理解，以及解決問題的主張）

四、全課總結

今天我們學習了畫線段圖的策略，其實這種策略我們早都使用了，甚至在一年級的時候就已經學習了。想看看嗎？只不過，它卻是以這樣的面貌展示給了我們（展示四年級的周期問題用圓形表示燈籠、一年級用實物圖來表示）。隨著年級的升高，我們現在使用了線段圖，顯得更直觀、更簡潔。在以后的學習中還會遇到利用各種各樣的線段圖、示意圖來幫助我們分析問題、解決問題。