巧借“等高線”妙解函數題

趙哲

[摘 要]類比地理學科中的“等高線”，巧妙借助函數的“等高線”，解決函數或方程中有關交點橫坐標、參數值或零點等問題，破解問題的關鍵是借助函數的圖像與性質進行數形結合.

[關鍵詞]等高線;函數;數形結合

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）14-0032-02

一、利用“等高線”的對稱性巧求交點橫坐標之和

分析：根據奇函數的性質以及已知的抽象函數遞推關系式得以確定函數的周期，進而利用已知條件作出函數[f（x）]在一個周期內的圖像，結合周期性加以拓展，通過數形結合加以直觀分析，利用“等高線”的對稱性進行分析與求解.

點評：根據函數的奇偶性和對稱性求出函數的周期性是問題的切入點，而借助函數的圖像加以數形結合是解題的關鍵，利用“等高線”的對稱性是解題的重點.巧妙利用“等高線”的對稱性來求值，可以有效轉化參數的不確定性帶來的影響，方便求值.

二、利用“等高線”的等高性巧求交點橫坐標之積

三、利用“等高線”的性質巧求參數的取值范圍

點評：涉及函數的零點或方程的解的個數的參數問題，往往都可以轉化為一個熟知的基本初等函數與一條直線問題，利用函數的圖像加以數形結合，利用“等高線”的性質來分析與處理與參數的最值、取值范圍等有關的數學問題.經常采用的破解策略有分離參數法、數形結合法等.

巧妙借助函數的“等高線”來解決一些相關的函數問題時，往往要通過合理轉化，把對應的函數問題或方程問題轉化為兩個熟悉的函數圖像（其中往往有一個是直線，即為對應的函數的等高線）的交點情況問題，借助函數的圖像與性質加以數形結合，從而得以破解相應的函數或方程問題.

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 蔣滿林，潘凌.巧用等高線 妙解高考題[J].數理化學習（高中版），2019（2）：22-23.

[2]? ?江戰明.隱藏在平面向量基本定理中的一朵“奇葩”：等高線[J].數學通訊，2017（12）：35-38.

（責任編輯 陳 昕）