基于偏微分方程的增長網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分析

賈俊波，靳　禎

(1.中北大學(xué)理學(xué)院，山西太原　030051;2.山西大學(xué)復(fù)雜系統(tǒng)研究所，山西太原　030006)

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基于偏微分方程的增長網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分析

賈俊波1，靳禎2

(1.中北大學(xué)理學(xué)院，山西太原030051;2.山西大學(xué)復(fù)雜系統(tǒng)研究所，山西太原030006)

摘要：為了研究網(wǎng)絡(luò)的功能，需要首先研究增長網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，包括網(wǎng)絡(luò)的度分布和節(jié)點(diǎn)度等。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)規(guī)模足夠大時(shí)，將網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的度看作連續(xù)變量，根據(jù)網(wǎng)絡(luò)演化過程中所滿足的馬爾科夫性，建立網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)量的變化方程，從而化簡變形得到基于一階雙曲方程的增長網(wǎng)絡(luò)模型。求解得到了兼具優(yōu)先和隨機(jī)2種連接機(jī)制的網(wǎng)絡(luò)度分布P(k)和節(jié)點(diǎn)度k(t0)(t)，同時(shí)也發(fā)現(xiàn)了節(jié)點(diǎn)度函數(shù)與雙曲方程特征線之間的關(guān)系。根據(jù)網(wǎng)絡(luò)的演化機(jī)制，通過對該增長網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行隨機(jī)模擬，驗(yàn)證了度分布與節(jié)點(diǎn)度理論結(jié)果的正確性。將網(wǎng)絡(luò)的度分布計(jì)算轉(zhuǎn)化為偏微分方程求解問題，將節(jié)點(diǎn)度的變化視為偏微分方程的特征線，將偏微分方程應(yīng)用于增長網(wǎng)絡(luò)的建模中，從而可以解析地對網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。

關(guān)鍵詞：圖論；偏微分方程；應(yīng)用數(shù)學(xué)；概率分布；結(jié)構(gòu)分析

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是復(fù)雜系統(tǒng)的重要研究內(nèi)容，主要研究網(wǎng)絡(luò)的生成、結(jié)構(gòu)及其功能，也就是說網(wǎng)絡(luò)是從哪里來，其結(jié)構(gòu)如何，具有什么功能[1-5]。這些問題清楚了，就可以利用這些性質(zhì)研究現(xiàn)實(shí)世界大量存在的網(wǎng)絡(luò)，如Internet網(wǎng)、萬維網(wǎng)、社交朋友網(wǎng)、交通運(yùn)輸網(wǎng)等復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)[6-9]。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)在理論上可以看作一個(gè)圖，可以借助于圖論及隨機(jī)理論進(jìn)行研究。……