齊型空間上的廣義多線性Calderón-Zygmund算子

周海艷，江秉華

(湖北師范學院 數學與統計學院，湖北 黃石　435002)

?

齊型空間上的廣義多線性Calderón-Zygmund算子

周海艷，江秉華

(湖北師范學院 數學與統計學院，湖北 黃石435002)

摘要：研究了反雙倍空間上的一類非光滑核的廣義多線性Calderón-Zygmund算子, 所謂反雙倍空間是指齊型空間賦予一個滿足反雙倍條件的雙倍測度. 利用Calderón-Zygmund分解和多線性插值, 得到這個算子的強型估計和端點的弱型估計，也得到尖銳極大函數作用于這個算子的點態估計, 隨即獲得了它的多權有界性.

關鍵詞：廣義多線性Calderón-Zygmund算子;Ap條件;齊型空間

0引言

與Calderón-Zygmund理論相關的多線性分析理論起源于Coifman和Meyer[1～3]的工作. 過去幾十年來, 這方面的研究吸引人們的注意并得到了許多結果, 例如, Christ和Journé[4], Kenig 和 Stein[5], Grafakos 和Torres[6，7],Lerner等[8],建立了一類適合于多線性情形的權理論(稱之為多權)并發展了加權的多線性Calderón-Zygmund理論.

值得指出的是, 在金典調和分析中, 最早的多線性算子的例子之一就是Calderón交換子. 它出現在沿李普希茲曲線的柯西積分的級數表示中, 并且作為一個m線性算子,它的核的正則性遠比標準的Calderón-Zygmund 核要弱. 詳細的內容我們可以參見[9～11].

齊型空間上的函數空間理論有許多作者深入研究了, 如Coifman和Weiss[12，13], Macias 和Segovia[14，15], Han和Sawyer[16]等. Grafakos,劉,Maldonado和楊[17]推廣多線性Calderón-Zygmund理論和多權理論到了距離測度空間,其上的Randon 測度滿足雙倍和反雙倍性質. 這類空間的詳細性質可以參見[17]中的參考文獻.受文獻[6，8，10，17]的啟發, 本文的主要目的是研究一類廣義多線性Calderón-Zygmund算子在齊型距離空間上的有界性.

為了利用實變方法研究Calderón-Zygmund奇異積分, 我們考慮的齊型空間需要一個一般框架. 首先, 我們介紹一些必要的符號, 定義和結論.

定義1令X 是一個非空集合,雙線性函數d：X ×X→R+稱為一個擬距離, 如果

i)d(x,y)=d(y,x),?x,y∈X;

ii)d(x,y)=0 當且僅當x=y;

iii) 存在常數k∈[1，∞ ) 使得d(x,y)≤K[d(x,z)+d(z,y)],?x,y,z∈X;

我們稱 (X,d)為擬距離空間. 特別地, 當K=1 時, 我們也稱d為距離和(X,d) 為距離空間.

定義2令(X,d) 是一個距離空間. 對任意的x∈X,所有的開球{B(x,r):r> 0}構成了它的一組鄰域基, 所有的{B(x,r):x∈X，r>0}導出了X 的所有Borel 集. 設μ是一個定義在包含上述所有Borel集的σ代數上的正則Borel測度, 并且對所有的x∈X和r> 0滿足0<μ(B(x,r))<1 . 三元組(X,d,μ)稱為齊型空間是指存在常數C1∈[1，∞ ) 使得

μ(B(x,2r))≤C1μ(B(x,r))

(1)

對所有的x∈X 和r> 0都成立.

注1在某種意義下, 測度μ的雙倍階數n確定了X的維數. 對于齊型空間 (X,d,μ),μ(X)<∞當且僅當存在正實數R0,使得對所有的x∈X都有X=B(x,R0) . 由雙倍條件, 存在C2∈[1，∞ ) 和n∈[0，∞ ) 使得對任意的x∈X ,r> 0和λ> 1,有

μ(B(x,λr))≤C2λnμ(B(x,r))

由雙倍條件可知,存在常數C3和N, 0≤N≤n使得

在歐幾里得空間Rn或者具有多項式增長性質的李群中,N=0. 如果N=0,則存在常數C4和C5使得

C4rn≤μ(B(x,r)) ≤C5rn

我們也稱其為標準的.

定義3稱三元組(X,d,μ)為RD空間,如果它是齊型空間并且存在常數κ∈[0,∞) 和C6∈(0,1]使得對所有的x∈X ,0

C6λκμ(B(x,r))≤μ(B(x,λr))

(2)

注2當X 是一個RD空間, 我們顯然有n≥κ, 并且μ({x})=0, ?x∈X, 這時我們稱它為非原子的. 在全文中, 我們總假定(X,d,μ)是一個標準的RD空間和μ(X)=∞ .

記Vr(x):=μ(B(x,r))和V(x,y):=μ(B(x,d(x,y))), 其中x,y∈X和r> 0. 由條件(1) 可知V(x,y)=V(y,x) . 記sup pf為{x∈X:f(x)≠0} 在X 中的閉包.

(3)

‖M‖L1(X)→L1,∞(X),‖M‖Lp(X)→Lp(X)和 ‖M‖Lp,∞(X)→Lp,∞(X)

均只依賴于C1和p.

和

Whitney覆蓋引理, 微分引理和M的弱 (1,1)有界性蘊涵著可積函數的Calderón-Zygmund分解, 見Coifman和Weiss[12，13].

1廣義多線性Calderón-Zygmund算子的估計

文[17]中, 作者推廣歐幾里得空間下的多線性Calderón-Zygmund理論到了RD空間(X,d,μ).

定義4給定m∈N, 設

K:Ωm→,Ωm:=Xm+1{(y0,y1,…,ym):y0=y1=…=ym}

若K:Ωm→是局部可積的, 函數K稱為一個Calderón-Zygmund核, 如果存在常數CK∈(0,∞)和δ∈(0,1]使得對所有的(y0,y1,…,ym) ∈Ωm, 有

(4)

以及對所有的k∈{0,1,…,m} 有

(5)

其中d(yk,y'k) ≤max1≤l≤md(y0,yl)/2. 簡記為K∈Ker(m,Ck,δ).

定義5令η∈(0,1] ,m線性Calderón-Zygmund算子是指它一個連續算子:

(6)

其中K∈Ker(m,Ck,δ),Ck> 0和δ∈(0,1].

=

轉置算子T*j的核K*j為

K*j(x,y1,…,yj-1,yj,yj+1,…,ym)=K(yj,y1,…,yj-1,x,yj+1,…,ym)

為使符號統一, 我們經常記T為T*,0和K為K*,0.

[17]中建立了m線性Calderón-Zygmund算子在RD空間上的弱型端點估計。

我們將考慮與一族積分算子相關的弱正則的核,這族積分算子在恒等逼近中起著重要的作用[20].

定義6一族算子{At,t> 0}稱為一個恒等逼近, 如果對任意的t> 0,At可以由X ×X上可測的核函數at(x,y)表示,即在積分意義下, 對任意的f∈Lp(X),p≥1, 有

Atf(x)= ∫Xat(x,y)f(y)dμ(y)

且有

(7)

其中s是一個正數和h是一個正的有界遞減函數并且對某個τ>κ, 有

(8)

這些條件蘊涵著對某個C'>0和0<τ'≤τ,核at(x,y) 滿足

|at(x,y)|≤C'Vt1/s(x)-1(1+t-1/sd(x,y))-n-τ'

現在, 設T是一個積分意義(6)下的具有核K(x,y1,…,ym)的m線性算子. 接下來, 我們還要做一些假設.

(9)

假設2存在支集在區間 [-1,1]上的函數φ∈C() 和常數δ>0使得對所有的x,y1,…,ym∈X和t>0, 我們有

(10)

其中A>0為某個常數和t1/s≤d(x,yj)/2.

(11)

假設4存在支集在區間 [-1,1]上的函數φ∈C()和常數δ>0使得對所有的x,y1,… ,ym∈X和t>0,我們有

(12)

其中A>0為某個常數和t1/s≤d(x,yj)/2.

對參數A,s,τ和δ, 所有滿足假設3和假設4的函數K記為GKer(A,s,τ,δ)而與之相關的m線性算子T稱為帶GKer核的廣義Calderón-Zygmund算子, 并記作GCZO(A,s,τ,δ), 如果m線性算子T的核K∈GKer0(A,s,τ,δ)并且它所有共軛算子的核K*j∈GKer0(A,s,τ,δ) ,則T的核K∈GKer(A,s,τ,δ) .

對于m線性算子T∈GCZO(A,s,τ,δ),我們有下面的強型估計, 雖然我們的證明非常類似于[10]中定理3.1的證明, 但是為了方便閱讀,我們仍然把它寫出來.

定理1設m線性算子T∈GCZO(A,s,τ,δ).給定1

i)當所有的pj>1,則T可以拓展為從Lp1(X) ×…×Lpm(X)到Lp(X) 的有界算子;

ii)當存在某個pj=1,則T可以拓展為從Lp1(X) ×…×Lpm(X)到Lp,∞(X) 的有界算子.

甚至,存在常數C使得下述范數不等式成立,

‖T‖L1(X)×…×L1(X)→L1/m,∞(X)≤C[A+‖T‖Lq1(X)×…×Lqm(X)→Lq(X)]

證明我們僅對m=2的情形給出證明. 自然地, 我們先證明i). 因為T:Lq1(X) ×Lq2(X)→Lq(X), 所以對應于第一個變量的共軛算子T*1:Lq1(X) ×Lq2(X)→Lq1(X). 而由文[21]的定理3.2得到T*1:L1(X) ×L1(X)→L1/2,∞(X).注意到q'1>1 , 對這兩個估計用算子插值, 則存在r1,r2和r>1滿足1/r1+1/r2=1/r, 使得T*1:Lr1(X)×Lr2(X) →Lr,∞(X)再由對偶性質可知T:Lr,∞(X) ×Lr2(X)→Lr1(X). 同樣文[21]中定理3.2, 蘊涵著T:L1(X) ×L1(X)→L1/2,∞(X).對T:Lr,∞(X) ×Lr2(X) →Lr1(X)和T:Lq1(X)×Lq2(X)→Lq(X) 再用插值可以得到T在一個開三角形內的有界性. 這里我們用到了雙線性的Marcinkiewicz插值定理[22]. 反復利用對偶性質和插值定理, 我們可以得到T在整個凸域1

‖T‖L1(X)×…×L∞(X)→L1,∞(X)=Cn,q1,q2,p[A+‖T‖Lq1(X)×Lq2(X)→Lq(X)]

因為T:L1(X) ×L1(X)→L1/2,∞(X), 再結合雙線性插值定理可以得,

T:L1(X)×…×Lp2(X)→Lp,∞(X)

其中p=p2/(p2+1) .

2廣義多線性Calderón-Zygmund算子的加權估計

Lerner, Ombrosi, Pérez, Torres和Trujillo-González[8]引入了一類多權并發展了加權的多線性Calderón-Zygmund理論. Grafakos, 劉, Maldonado和楊[17]將其推廣到了齊型空間背景下.

如果測度υ關于測度μ是絕對連續的且存在非負的局部可積函數ω使得dυ(x)=ω(x)dμ(x),則我們稱υ為關于測度μ的權測度和ω為權. 我們記υ(B)=∫Bω(x)dμ(x)和加權Lebesgue 空間為

定義7我們稱ω 是X上的Ap(1

對p=1, 我們稱ω∈A1是指存在C使得對所有的球B?X,有

和經典情形一樣,記A∞=∪p≥1Ap.

定義反H?lder類為:ω∈RHq,1

容易驗證RH∞? RHq? RHp,對所有的1

引理1[23]i) 如果ω∈Ap,1 ≤p<∞,則存在1

ii)如果ω∈Ap,1 ≤p<∞,則存在某個r>1使得ω-1/(p-1)∈RHr，

iii)如果ω∈Ap, 1 ≤p<∞, 則存在常數C使得對任意的球B和可測集S? B,有

iv)如果ω∈A∞, 則 dω(x)=ω(x)dμ(x)是一個雙倍測度.

由文[17]中命題4.3可知, 齊型空間上的多權有和歐幾里得空間上相同的性質:

由引理1和上述性質ii), 我們有類似于文[8]中引理6.1的引理.

證明因為證明與文[8]中引理6.1的過程完全一樣,我們略去證明.

以及對1 ≤l

這里上確界取遍包含x的所有球B?X. 對γ=1,我們分別簡單記作M和Mσ.

反之亦然.

我們將上述定理的必要部分推廣到Mγ和Mσ,γ(γ>1).

證明對于Mγ,為證明

也就是要證明

(13)

置bj=pj/γ和b=p/γ,則1/b=1/b1+…+1/bm. 又令

注意到t<1和tbj>1,j=1,…,m. 由H?lder不等式, 對任意的x和球Bx, 我們有

∫B|f(yj)|γdμ(yj)≤

(14)

注意到對于每個 j,

因此,由(13) ,可以推得

(15)

由定義8和引理1 iii), 有

則

定義10令f是(X,d,μ)上的局部可積函數以及任意的x∈X, 我們定義尖銳極大函數M#f(x)為

注3下面的定義與之等價

齊型空間上的Fefferman-Stein不等式也被得到了[17].

i)當p0

ii)當p0≤p時,‖Mf‖Lp,∞(ω)≤C‖M#f‖Lp(ω);

對于多線性Calderón-Zygmund算子, 選擇合適的指標γ∈(0,1/m) 有下面的點態估計

由此以及引理3, 人們可以得到類似于文[8]中推論3.9的T的加權有界性.

為得到GCZO(A,s,τ,δ)中的m線性算子T的加權有界性，我們需要另外的一個假設.

假設5給定參數s和τ，設算子族Bt(t>0)的核函數bt(x,y)滿足(4)和(5)令

(16)

同樣假設函數φ∈C()且支集滿足suppφ?[-1,1],以及存在常數A>0和δ∈(0,1]使得

(17)

其中2t1/n≤min1≤j≤md(x,yj)和

(18)

對任意的2d(x,x')≤t1/s和2t1/s≤max1≤j≤md(x,yj)都成立.

注3我們可以驗證假設2，假設4和假設5都比標準的H?lder條件1和弱2，證明與文[10]中命題2.1相似. 在歐幾里得空間下, Calderón交換子的核也滿足假設4[24].

證明因為||a|γ-|b|γ|≤|a-b|γ,0<γ<1,我們只需要證明對所有的x∈X和 Bx,有

這里 ∑的每一項中至少有一個αj≠0, 然后我們重寫

由定理1,T映射乘積空間Lq1(X)×…×Lqm(X)到Lq,∞(X) 有界,和

B=‖T‖L1(X)×…×L1(X)→L1/m,∞(X)

我們有

對情形α1=…=αm=∞,取t=(4rB)s,我們有

因為z∈ B和yj∈X10B,我們可得:d(yj,z)≥9rB>2t1/s,對所有的j=1,…,m.

由假設5, 我們可以估計I,

現在只剩下aj1=…=ajl=0的情形, 其中σ={j1,…,jl} 和1≤l≤m. 我們估計

因為x,z∈B,和yj∈XB*, 我們有d(x,yj)～d(z,yj)～d(cB,yj)和V(x,yj) ～V(z,yj)～V(cB,yj) . 設σ'=σ0σ, 由假設5我們可以推得

因此,我們完成了證明.

參考文獻：

[1]CoifmanR,MeyerY.Oncommutatorsofsingularintegralandbilinearsingularintegrals[J].TransAmerMathSoc, 1975, 212: 315～331.

[2]CoifmanR,MeyerY.Commutateursd'intégralessingulièresetopérateursmultilinéaires[J].AnnInstFourier(Grenoble),1978, 28: 177～202.

[3]CoifmanR,MeyerY.Audeládesopérateurspseudo-diférentiels[J].Astérisque. 1978, 57.

[4]ChristM,JournéJL.Polynomialgrowthestimatesformultilinearsingularintegraloperators[J].ActaMath, 1987,159: 51～80.

[5]KenigCE,SteinEM.Multilinearestimatesandfractionalintegration[J].MathResLett, 1999, 6: 1～15.

[6]GrafakosL,TorresRH.MultilinearCalderón-Zygmundtheory[J].AdvMath,2002,165(1): 124～164.

[7]GrafakosL,TorresRH.Maximaloperatorandweightednorminequalitiesformultilinearsingularintegrals[J].IndianaUnivMathJ,2002,51(5): 1261～1276.

[8]LernerAK,OmbrosiS,PéresC,etal.NewmaximalfunctionsandmultipleweightsforthemultilinearCalderón-Zygmundtheory[J].AdvMath, 2009, 2002(4): 1222～1264.

[9]DuongXT,GongR,GrafakosL.Maximaloperatorformultilinearsingularintegralswithnon-smoothkernels[J].IndianaUnivMathJ,2009, 58: 2517～2541.

[10]DuongXT,GrafakosL,LiJ.Multilinearoperatorwithnon-smoothkernelsandcommutatorsofsingularintegrals[J].TransAmerMathSoc,2010,362(4): 2089～2113.

[11]GrafakosL,LiuLG,YangDC.Multipleweightednorminequalitiesformaximalmultilinearsingularintegralswithnon-smoothkernels[J].ProcRoySocEdinburghSect, 2011, 141A:755～775.

[12]CoifmanRR,WeissG.Analyseharmoniquenon-commutativessurcertainsespaceshomogènes[M].Berlin:Springer, 1971.

[13]CoifmanRR,WeissG.ExtensionsofHardyspacesandtheiruseinanalysis[J].BullAmerMathSoc,1977, 83:569～645.

[14]MacíasRA,SegoviaC.Lipschitzfunctionsonspacesofhomogeneoustype[J].AdvMath, 1979,33: 257～270.

[15]MacíasRA,SegoviaC.Adecompositionintoatomsofdistributionsonspacesofhomogeneoustype[J].AdvMath, 1979, 33: 271～309.

[16]HanY,SawyerET.Littlewood-Paleytheoryonspacesofhomogeneoustypeandtheclassicalfunctionspaces[M].Washington:AmericanMathematicalSociety,1995.

[17]GrafakosL,LiuLG,MaldonadoD.Multilinearanalysisonmetricspaces[J].DissertationesMath(RozprawyMat), 2014, 497: 1～121.

[18]GrafakosL.ClassicalFourierAnalysis[M]. 2ndedition,GraduateTextsinMathematics,NewYork:Springer, 2008, 249.

[19]HeinonenJ.LecturesonAnalysisonMatricSpaces[M].NewYork:Springer-Verlag, 2001.

[20]DuongXT,McIntoshA.Singularintegraloperatorswithnon-smoothkernelsonirregulardomains[J].RevMatIberoam, 1999, 15: 233～265.

[21]HuGE,MengY.Estimatesformultilinearsingularintegraloperatorswithnon-smoothkernels[J].FrontMathChina, 2012,7 (1): 51～67.

[22]GrafakosL,KaltonN.Someremarksonmultilinearmapsandinterpolation[J].MathAnn, 2001, 319: 151～180.

[23]Str?mbergJ,TorchinskyA.WeightedHardyspaces[M].Berlin:Springer, 1989, 1381.

[24]AnhBT,DuongXT.OncommutatorsofvectorBMOfunctionsandmultilinearsingularintegralswithnon-smoothkernels[J].JMathAnalAppl, 2010, 371: 80～94.

Generalized multilinear Calderón-Zygmund operators over spaces of homogeneous type

ZHOU Hai-yan，JIANG Bing-hua

(College of Mathematics and Statistics, Hubei Normal University, Huangshi435002,China )

Abstract:We study the generalized multilinear Calderón-Zygmund operators with non-smooth kernel, whose kernels satisfy regularity conditions significantly weaker than those of the standard Calderón-Zygmund kernels, on the RD-spaces which arespaces of homogeneous type equipped with doubling measures satisfying a reverse doubling condition. The endpoint estimates and strong type estimates for this operator are obtained by Calderón-Zygmund decomposition and multilinear interpolation. And the pointwise estimate for sharp function acting on the generalized Calderón-Zygmund operators are be established. As a consequence, the multiple-weighted boundedness of them are valid.

Key words:generalized Calderón-Zygmund operators; Ap condition;space of homogeneous type

doi:10.3969/j.issn.1009-2714.2016.01.001

中圖分類號：O174.2

文獻標識碼：A

文章編號：1009-2714(2016)01- 0001- 11

作者簡介：周海艷(1985—)，女，湖南人，碩士，助教，主要研究方向為算子理論，金融數學.

收稿日期：2015—09—20