一類帶時滯的脈沖神經網絡的漸近穩定性

王　嫚,陳伯山

(湖北師范學院 數學與統計學院，湖北 黃石　435002)

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一類帶時滯的脈沖神經網絡的漸近穩定性

王嫚,陳伯山

(湖北師范學院 數學與統計學院，湖北 黃石435002)

摘要：給出了一類帶脈沖的時滯神經網絡的平衡點的存在唯一性條件.在假設系統右端的激活函數為齊次函數的前提下,利用同胚映射定理及Laypunov穩定性定理,可得到新的穩定條件來保證唯一存在的平衡點是漸近穩定的,最后,通過一個數值實例來說明文中的條件是有效的。

關鍵詞：神經網絡;齊次函數;漸近穩定;Laypunov函數

近年來,各種不同類型的神經網絡引起了越來越多學者的研究.其動態特性尤其是平衡點的穩定性,在各類實際問題如:信號傳遞、聯想記憶、優化計算等都有廣泛應用([1]-[5]).在這些應用中,一般都期望所設計的系統的平衡點是穩定的.眾所周知,若系統中出現時滯量,則會導致其震蕩甚至動態特性不穩定,所以研究時滯神經網絡對解決實際問題有著重大意義.在文獻[1]-[9]中,針對不同的時滯神經網絡的穩定性做出了研究,且得到了許多有用的穩定性條件.本文研究的時滯脈沖神經網絡的類型如下:

(1)

上述系統也可寫成如下向量矩陣的形式:

(2)

其中x(t)=(x1(t),x2(t)…xn(t))T是神經元, f(x(t))=(f1(x1(t)),f2(x2(t))…fn(xn(t)))T和g(x(t-τ))=(g1(x1(t-τ)),g2(x2(t-τ))…gn(xn(t-τ)))T分別表示不帶時滯和帶時滯的激活函數. h(x(t))=(h1(x1(t)),h2(x2(t))…hn(xn(t)))T代表非線性反饋函數, A=(aij)n×n及B=(bij)n×n分別表示反饋矩陣和時滯反饋矩陣,τ≥0表示時滯參數, u=(u1,u2,…un)T是外部輸入函數, {tk} 是嚴格單調增數列,且當k→+∞ 時tk→+∞ .

對向量V=(V1,V2,…,Vn)T及任意的實矩陣R=(rij)n×n,定義如下記號:

正如在引言中介紹的,型如系統(1)的時滯脈沖模型的漸近穩定性與齊次函數的性質有關,下面介紹齊次度的相關概念.

定義[10]-[11]若向量函數 f(x)=(f1(x),f2(x),…fn(x))T:Rn→Rn對任意的λ>0及x∈Rn都滿足關系式:

f1(λm1x1,λm2x2,…,λmnxn)=λμ+mifi(x1,x2,…,xn)(mi>0,i=1,2,…n)則稱函數f(x) 為μ∈R次齊次函數.

注：若fi(λmixi)=λμ+mifi(xi)(mi>0,i=1,2,…,n)對所有的λ>0及x∈Rn均成立,則稱函數f(x)=(f1(x1),f2(x2),…,fn(xn))為μ∈Rn次齊次函數.在給出系統(1)的平衡點的存在唯一性條件之前,先提出以下幾個假設及引理：

假設1非負反饋函數hi(·) 是斜率有界且滿足不等式：

i=1,2,…,n,?x,y∈B,x≠y，其中B為Banach空間.

假設2激活函數fi(·) ,gi(·)(i=1,2,…n)是Lipschtiz連續的，即存在一些正常數αi,βi,使得

|fi(x)-fi(y)|≤αi|x-y|,|gi(x)-gi(y)|≤βi|x-y|,?x,y∈B,x≠y

引理1如果映射φ(x)∈C0滿足如下條件：

i)對所有的x≠y有φ(x)∈φ(y);

ii)當 ‖x‖→∞ 時 ‖φ(x)‖→∞.

則稱映射φ(x)是Rn上的同胚映射.

1平衡點的存在唯一性

定理1若假設1及假設2均成立。對于系統(1)，若滿足如下不等式：

Ψ=cmγm-αμM(A)-βμM(B)>0

則時滯神經網絡系統(1)的平衡點存在且唯一.

其中cm=min{c1,c2,…,cn}γm=min{γ1,γ2,…,γn}

α=max{α1,α2,…,αn}β=max{β1,β2,…,βn}

μM(A)=max{‖A‖1,‖A‖∞},μM(B)=max{‖B‖1,‖B‖∞}

證明利用同胚映射定理，易證明系統(1)的平衡點是存在且唯一的。下面定義一個與系統(2)有關的映射：

φ(x)=-ch(x(t))+Af(x(t))+Bg(x(t))+u

(3)

假設x*為系統(2)的平衡點,則

φ(x*)=-ch(x*)+Af(x*)+Bg(x*)=0

顯而易見,系統(2)的平衡點即是方程φ(x)=0 的解.因此,系統(2)的平衡點的存在唯一性問題等價于方程φ(x)=0 的根是存在且唯一的.根據引理1可知,只需證明映射φ(x) 是同胚映射即可.

對任意的x∈Rn,y∈Rn,且x≠y由(3)定義的映射φ(x) 可知：

φ(x) -φ(y)=-c(h(x(t))-h(y(t)))+A(f(x(t))-f(y(t)))+B(g(x(t))-g(y(t)))

(4)

對上式兩邊同乘以(x-y)T可得

(x-y)T(φ(x) -φ(y))=-c(x-y)(h(x(t))-h(y(t)))+(x-y)A(f(x(t))-f(y(t)))+

(x-y)B(g(x(t))-g(y(t)))=

因為h(x)是斜率為正的函數,f(x),g(x)是Lipschtiz連續的,因此

與上式的方法類似,可得

綜合考慮以上不等式,可得

若x≠y,由Ψ>0 可知(x-y)T( φ(x) -φ(y))<0.因此,對所有的x≠y, 都有φ(x) ≠φ(y).

令y=0 則xT(φ(x) -φ(0)) ≤- Ψ‖x‖2.因此

從上述這些不等式,可知

‖x‖‖φ(x) -φ(0)‖≥Ψ‖x‖

由三角不等式,可知

‖φ(x)‖≥Ψ‖x‖-‖φ(0)‖

因此,當‖x‖ →∞ 時‖φ(x)‖→∞ .

綜合上述的證明過程,可知 φ(x)是同胚映射。換句話說,系統(1)有且只有一個平衡點。

2平衡點的漸近穩定性

令 x*為系統(1)的平衡點。對系統(1)進行線性變換,通過變換 yi(t)=xi(t)-x*,系統(1)可被改寫成如下形式:

(5)

其中

此外,必須指出的是系統(1)的平衡點的穩定性等價于系統(5)的零解的穩定性,且函數 hi(·)、 fi(·)、gi(·)(i=1,2,…,n)經過線性轉換后仍然滿足假設1及2,即對任意的x∈B 有

Hi(0)=0,Fi(0)=0,Gi(0)=0

假設3函數Hi(·),Fi(·),Gi(·)對所有的x,y ∈都是連續的,并且都是μ次齊次函數.

定理2令假設1成立.對于神經網絡系統(5),如果不等式

Ψ=cmγm-αμM(A)-βμM(B)>0

成立，則(5)的零解是漸近穩定的。

證明構造如下形式的正Lyapunov函數：

假設存在某些正常數a1,a2使得對所有的y(t) ∈Rn有

a1r(y(t)) ≤V(y(t))≤a2r(y(t))

(6)

計算函數V(t,y(t)) 關于系統(5)的導數,可得

令x(t) 為系統(5)的一個解.存在一個常數δ>0 ,假設不等式r(x(ξ))<δ和Razumikhin條件V(x(ξ))<2V(x(t))對任意的ξ∈[t,t-2τ]均成立.將不等式(6)和Razumikhin條件結合起來,可得到

a1r(y(ξ))≤V(y(ξ))≤ 2V(y(t)) ≤ 2a2r(y(t))

另一方面,

由上述證明過程及結果可知,系統(5)的平衡點是漸近穩定的。

3數值實例

在這一小節中,將會給出一個數值實例來說明本章定理中結論的正確性。考慮以下的脈沖時滯神經網絡：

(7)

當x∈(-1,+∞)時,hi(xi(t))=fi(xi(t))=gi(xi(t))=1(i=1,2,)系統(7)也沒有解;

4總結

本文討論的是時滯脈沖系統的穩定性,基于同胚映射定理及Lyapunov穩定性定理,可得到時滯脈沖系統的平衡點存在且唯一的有效條件.本文的特點是將激活函數與齊次函數結合在一起,這在前文中是極少用到的.

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doi:10.3969/j.issn.1009-2714.2016.01.015

中圖分類號：O175．13

文獻標識碼：A

文章編號：1009-2714(2016)01- 0078- 05

作者簡介：王嫚(1991—)，女，湖北孝感人，碩士研究生，主要研究方向為微分方程與控制論.

收稿日期：2015—12—08