關于Lipschitz擬偽壓縮映像族的強收斂定理

高興慧，楊春萍（延安大學數學與計算機科學學院，陜西延安716000）

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關于Lipschitz擬偽壓縮映像族的強收斂定理

高興慧，楊春萍
（延安大學數學與計算機科學學院，陜西延安716000）

摘 要：在Hilbert空間中設計出2種新的關于Lipschitz擬偽壓縮映像族和嚴格擬偽壓縮映像族的收縮投影算法，并利用所提出的算法證明了Lipschitz擬偽壓縮映像族和嚴格擬偽壓縮映像族的公共不動點的強收斂定理，所得結果改進和推廣了已有文獻的相關結果．

關 鍵 詞：收縮投影算法；Lipschitz擬偽壓縮映像族；公共不動點

在無限維Hilbert空間中，即使對于非擴張映像來說，正規Mann迭代格式一般也僅有弱收斂定理，為了得到強收斂定理，須改進Mann迭代格式．通過修正正規Mann迭代算法，使得對于非擴張映像、嚴格偽壓縮映像和偽壓縮映像的強收斂定理能夠成立，這些結果可參見文獻［1－12］．文獻［1］在Hilbert空間中給出了幾種修正的混雜投影算法，用以逼近嚴格擬偽壓縮映像族和Lipschitz擬偽壓縮映像族的公共不動點，這些結果改進和推廣了文獻［2，4，6］的相關結果．另外，文獻［3］設計了固定非擴張映像和非擴張映像的收縮投影方法．受文獻［1，3］的啟示，在Hilbert空間框架下，設計了2種關于Lipschitz擬偽壓縮映像族和嚴格擬偽壓縮映像族的收縮投影算法，并證明其公共不動點的強收斂定理，所得結果改進和推廣了文獻［1－4，6－7］的相關結果．

1 預備知識

定義1 如果

則稱映像T：C→H是非擴張映像．

定義2 如果存在常數κ∈［0，1），使得

則稱映像T：C→H是嚴格偽壓縮映像，也稱T是κ－嚴格偽壓縮映像．

非擴張映像是特殊的嚴格偽壓縮映像，即T是非擴張映像，當且僅當T是0－嚴格偽壓縮映像．

定義3 如果存在一個常數L，使得

則稱映像T：C→H是Lipschitz映像，也稱T是L－Lipschitz映像．

嚴格偽壓縮映像是Lipschitz偽壓縮映像，其逆不真［1］．

定義4 如果F（T）≠?，且對于任意的x∈C，y∈F（T），式（＊）成立，則稱映像T：C→H是嚴格擬偽壓縮映像．當κ＝1時，稱T為擬偽壓縮映像；當κ＝0時，稱T為擬非擴張映像．

顯然，不動點集非空的偽壓縮映像是擬偽壓縮映像，反之不真．

例1［2］設

則T是Lipschitz偽壓縮映像，但不是嚴格偽壓縮映像．

例2［2］設X＝R1，定義

則T是擬偽壓縮映像，但不是偽壓縮映像．

設｛Tn｝是C到H的映像族，且｛Tn｝滿足條件如果｛xn｝是C中的有界序列，且則（詳見文獻［3］，這里ωω（xn）表示｛xn｝的弱極限集）．

例3［3］設H是Hilbert空間，A?H×H是極大單調算子，且A－10≠?，｛rn｝是有界正實數序列，則預解式滿足條件（Z），這里

例4［3］設H是Hilbert空間，C是H的非空閉凸子集，｛Sn｝：C→C是強非擴張映像族，使得．令，則｛Tn｝滿足條件（Z）．

引理1［1］設H是Hilbert空間，C是H的非空閉凸子集，T是C到H的Lipschitz擬偽壓縮映像，其Lipschitz常數為L≥1，則F（T）是C的非空閉凸子集．

引理2［4］設H是Hilbert空間，C是H的非空閉凸子集，PC：H→C是H到C的度量投影，則下列不等式成立：

引理3［4］設H是Hilbert空間，則下列等式成立：

引理4［4］設H是Hilbert空間，C是H的非空閉凸子集，T：C→H是κ－嚴格擬偽壓縮映像，則F（T）是C的非空閉凸子集．

2 主要結果

定理1 設H是Hilbert空間，C是H的非空閉凸子集，｛Tn｝：C→H是Ln－Lipschitz擬偽壓縮映像族，使得．假設，且｛αn｝，｛βn｝滿足下列條件：

｛xn｝如下：

如果｛Tn｝滿足條件（Z），那么｛xn｝強收斂于PFx．

證明 分6步完成證明．

第1步 證明對任意x∈H，PFx都有意義．

由引理1可知，對于任意n∈N，F（Tn）是C的非空閉凸子集，根據定理的條件可得是C的非空閉凸子集，從而對于任意x∈H，PFx都有意義．

第2步 證明對任意n∈N，Cn是C的非空閉凸子集．

顯然，對于任意n∈N，Cn是C的閉凸子集．下面證明F?Cn，?n∈N．事實上，F?C＝C1．假設對某一n∈N，F?Cn，由式（1）以及Tn的Ln－Lipschitz連續性可得，對任意的p∈F，

由于Tn是擬偽壓縮映像，所以

將式（3）代入式（2）可得

于是

其中，

將式（5）代入式（4）可得

則p∈Cn＋1，于是F?Cn＋1．因此，對于任意n∈N，F?Cn，且｛xn｝有意義．

另一方面，由第2步可得F?Cn，從而

由引理2可得

由｛αn｝，｛βn｝的假設和｛xn｝與｛zn｝的有界性可得

第6步 證明xn→PFx（n→∞）．

根據v∈F可得v＝PFx，所以，且

于是，

證畢．

注1 定理1將文獻［3］定理3．2從固定非擴張映像族推廣到Lipschitz擬偽壓縮映像族，也將文獻［3］定理3．4從非擴張映像族推廣到Lipschitz擬偽壓縮映像族，同時，定理1中的算法較文獻［1］定理2．1中的算法簡單．

定理2 設H是Hilbert空間，C是H的非空閉凸子集，｛Tn｝：C→H是kn－嚴格擬偽壓縮映像族，使得．假設

（0，1），C1＝C，n∈N，x∈H，定義序列｛xn｝如下：

如果｛Tn｝滿足條件（Z），那么｛xn｝強收斂于PFx．

證明 分6步完成證明．

第1步 根據引理4，類似于定理1第1步的證明，可得對于任意x∈H，PFx都有意義．

第2步 證明對于任意n∈N，Cn是C的非空閉凸子集．

顯然，對于任意n∈N，Cn是C的閉凸子集．下面證明F?Cn，?n∈N．

事實上F?C＝C1．假設對某一n∈N，F?Cn，對任意的p∈F，有p∈Cn．根據引理3和嚴格偽壓縮映像的定義可得

則p∈Cn＋1．于是F?Cn＋1．因此F?Cn，?n∈N．且｛xn｝有意義．

第4步 同定理1第4步的證明，可得

由于xn＋1∈Cn＋1，利用式（9）及引理3可得

所以，

因為αn∈（0，1），所以

另外，

于是

從而

則

即

根據｛kn｝的假設及可得

第6步 同定理1第6步的證明，可得xn→PFx（n→∞）．

證畢．

注2 定理2將文獻［3］定理3．2從固定非擴張映像族推廣到嚴格擬偽壓縮映像族，也將文獻［3］定理3．4從非擴張映像族推廣到嚴格擬偽壓縮映像族，同時，定理2中的算法比文獻［1］定理2．2中的算法簡單．

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Strong convergence theorems for a family of Lipschitz quasi－pseudo－contractions

GAO Xinghui，YANG Chunping（College of Mathematics and Computer Science，Yanan University，Yanan 716000，Shaanxi Province，China）

Journal of Zhejiang University（Sci－ence Edition），2016，43（1）：071－074

Abstract：The purpose is to study the shrinking projection methods for a family of Lipschitz quasi－pseudo－contractions and a family of strict quasi－pseudo－contractions．Then，we proved two strong convergence theorems for their common fixed points by using the proposed projection algorithms in the framework of Hilbert spaces．The results presented in this paper improve and extend the corresponding ones announced by many others．

Key Words：shrinking projection method；a family of Lipschitz quasi－pseudo－contraction；common fixed points

作者簡介：高興慧（1975－），女，副教授，碩士，主要從事非線性泛函分析研究，E－mail：yadxgaoxinghui＠163．com．

基金項目：陜西省自然科學基礎研究計劃資助項目（2014JM2－1003）；陜西省教育廳科研計劃項目（2013JK0575）；陜西省高水平大學建設專項資金資助項目（2012SXTS07）．

收稿日期：2015－03－04．

DOI：10．3785／j．issn．1008－9497．2016．01．012

中圖分類號：O 177．91

文獻標志碼：A

文章編號：1008－9497（2016）01－071－04