基于分數布朗運動模型的上證50ETF期權定價研究

鄒良凱，吳禮斌

(安徽財經大學 數量經濟研究所，安徽 蚌埠　233030)

基于分數布朗運動模型的上證50ETF期權定價研究

鄒良凱，吳禮斌

(安徽財經大學 數量經濟研究所，安徽 蚌埠233030)

摘要：在對50ETF的收盤價序列做了正態性檢驗后，發現ETF基金市場存在著分形結構。對此建立了分數B-S模型的上證50ETF期權定價分析，同時也使用了B-S模型進行分析。通過比較兩個模型所計算出的期權的理論價格與實際價格的誤差可知，在對上證50ETF期權定價分析中，分數B-S模型要比B-S模型效果更好。

關鍵詞：50ETF；分數布朗運動；期權定價；重標極差分析法

近年來的研究與應用發現實際的金融市場中股票的價格變化并不滿足對數正態分布，而是服從一種尖峰厚尾的分布。這使得用B-S模型來求解期權的理論價格不符合實際情況，所造成的偏差也將會更大。為解決真實市場中股價出現的自相似與長程關聯性的問題，分數布朗運動被提出，分數布朗運動具有的自相似性和長程關聯性的特點，能夠更加有效地描述實際金融市場中股票價格的變化情況。在已有的關于50ETF實證分析的文獻中，幾乎所有的文獻所使用的模型都是B-S模型。文中在使用B-S模型對50ETF進行實證分析的同時也使用了分數B-S模型對50ETF進行了實證分析。分別對兩個模型所得到期權的理論價格與實際價格進行對比，并分析造成偏差的一些可能原因。

一模型介紹

1.分數布朗運動。

分數布朗運動的理論雛形是1941年由安德列·柯爾莫哥洛夫(Kolmogorov)在希爾伯特空間框架中定義和研究形成的。而分數布朗運動的構造方法和概念是由曼德爾布羅特(Mandelbrot)和范內斯(VanNess )在1968年提出的。[1]

定義[2]設(Ω，F，P)為一個概率空間，Hurst指數為H(0〈H〈1,)的連續Guassian過程為

BH=BH(t),t ∈[0,T]，

若它滿足

(1)BH(0)=E[BH(t)]=0，對于任意的t>0；

那么BH(t)就叫做分數布朗運動。

2.B-S模型。

B-S模型是在諸多嚴格的條件假設下，得出了一個確定歐式看漲期權價格的公式

C=SN(d1)-Kexp-rtN(d2)

(2.1)

其中C代表歐式看漲期權的理論價格，S代表標的股票的現行執行價格，r代表無風險利率，K代表看漲期權的執行價格，σ代表標的股票年價格變動的標準差，t代表期權距離到期日的時間，N(d1)和N(d2)是標準正態分布變量的累積概率分布函數。

3.分數B-S模型。

基于分數布朗運動下的金融產品均滿足如下的偏微分方程

在給出一個確定的臨界條件時，上述偏微分方程有唯一解。下面以歐式看漲期權為代表求解上述帶有臨界條件的偏微分方程。對于歐式看漲期權來說，它的到期日的現金流量為Cr=max(Sr-K,0)，其中K為執行價格，St為股票到期日的價格。利用這個臨界條件求解出的上述偏微分方程的解就是分數布朗運動下的歐式看漲期權的定價公式。

即C(t,S(t))

=S(t)N(d1)-Kexp{-r(T2H-t2H)}N(d2).

(3.1)

其中

由于股票的價格St可以從市場上觀測到，期權的行權價格K和距離到期日的時間長度T-t都是由期權的條款和交易時間決定的，只要通過適當的方法確定股票價格的波動率σ和無風險利率r這兩個參數，再根據上述公式即可計算出分數布朗運動下的歐式看漲期權的價格。

二數據處理及實證研究

參數的選取：本文利用上證50ETF的日收盤價作為研究對象，同時選取50ETF購9月2200代碼(10000031)的合約的2015年2月9日到2015年8月6日的120組日收盤價作為期權的實際價格，選取銀行存款利率作為無風險利率r=0.023，到期日為2015年9月23，執行價格為k=2.2。

在估計赫斯特指數H時首先對這120個交易日的收盤價取對數收益率，這是因為將原始數據轉化為對數收益率會消除原始數據可能存在的一些不平穩因素，同時在對這120個數據進行重標極差(R/S)分析前，首先對它們的對數收益率即St進行正態檢驗。下面利用Eviews對這組對數收益率的序列進行正態檢驗，檢驗出的結果見表1。

表1　50ETF的對數收益率序列的正態性檢驗

由表1可以清楚地看到50ETF收盤價的對數收益率序列是左偏的，同時峰度也大于3，這說明它具有明顯的尖峰特征，又由于它的JB統計量大于其臨界值且概率很小，因此有充分的理由說明這個對數收益率序列是拒絕原假設的，即它不服從正態分布的假設。因此采用B-S模型對以50ETF的收盤價為標的資產的期權定價時難免會出現偏差，而是用分數布朗運動來描述價格的波動更為合理。下面利用重標極差法對這組對數收益率序列的赫斯特指數H進行估計，分別得到對應增量n下的赫斯特指數估計值，將它們取對數并利用Eviews進行最小二乘回歸得到,上證50ETF日收盤價對數收益率的赫斯特指數為H=0.58654。

由波動率計算公式計算出σ=0.426，再根據(2.1)式和(3.1)式可分別計算出B-S模型和分數B-S模型下期權的理論價格。

本文選取平均偏方差的百分率AMSE作為評價分數B-S模型和B-S模型的評價公式。

其中Ci表示的是期權的實際價格，Ci(z)表示的是期權在模型下的計算出的理論價格，z在此處表示的是分數B-S模型或是B-S模型，n表示的是所選取的樣本的數量。由平均偏方差的百分率AMSE的定義可知，在z模型下計算出的AMSE的值越小就表示該模型的擬合效果越好。兩個模型計算出的平均偏方差的百分率AMSE的值見表2。

表2　兩種模型下期權價格的平均偏方差的百分率AMSE

為了能夠更加直觀地看到由分數B-S模型和B-S模型所計算出的期權價格偏差，我們將兩種模型所計算出的期權的理論價格和實際價格繪制在一張圖上，見圖1。

圖1　兩種模型下期權的理論價格與實際的市場價格折線圖

觀察圖1，可以看出由兩種模型所計算出的期權的理論價格與期權的實際市場價格首次交叉之前，由分數B-S模型計算出的理論價格要比B-S模型所計算出的理論價格更加接近實際價格，在兩種模型下的理論價格與實際市場價格首次交叉之后，由分數B-S模型與B-S期權定價模型所計算出的期權的理論價格曲線基本重合。總的來看，分數B-S模型要比B-S模型具有更好的擬合效果。另外，圖1還可以更加方便地判斷投資者在何時買入和賣出這種看漲期權。對于看漲期權來說，如果期權的理論價格大于期權的實際市場價格，那么這份看漲期權就被認為是低估的。在不存在交易成本的情況下，買入這種看漲期權是可以獲利的。反之賣出這種看漲期權是可以獲利的。

由圖2可以看出由分數B-S模型得出的期權價格偏差序列比B-S模型得出的期權價格偏差序列更加接近零。這說明使用分數布朗運動來描述期權價格的變化趨勢要比標準布朗運動效果更好。

圖2　兩種模型下期權價格的偏差序列

通過對上證50ETF的期權定價實證分析，我們得到以下結論：

1.經過比較兩個模型所計算出的期權的理論價格與實際價格的曲線圖和偏差序列圖可以看出，無論是B-S模型還是分數B-S模型所計算出的期權的理論價格與實際價格都有一定的偏差，但是分數B-S模型所計算出的期權的理論價格的偏差要低于B-S模型所計算出的期權的理論價格的偏差，這說明，分數B-S模型要比B-S模型所計算出的期權的理論價格更加地接近實際價格；

2.通過分析分數B-S模型與B-S模型所計算出的期權的理論價格與實際價格的平均偏差方百分比率AMSE可知，分數B-S模型要比B-S模型所計算出的AMSE低，這說明，在描述期權定價的過程中，使用分數B-S模型要優于B-S模型；

3.盡管分數B-S模型與B-S模型所計算出的期權的理論價格與實際價格都有一定的偏差，但它們所描述的期權價格的變化趨勢卻是大致相同，這便為期權交易的投資者提供了一定的信息，比如投資者可以根據這種變化趨勢對未來的期權價格變化趨勢作出判斷，以便在買入和賣出期權時能夠獲取利益。

造成分數B-S模型與B-S模型所計算出的期權的理論價格與實際價格的偏差的主要原因有:

1.對于B-S模型來說，它的一個重要假設是股票價格的變化是一個對數正態分布，也就是說股票的價格變動必須遵循連續的隨機游走過程，但是在實際的市場中，股票的

價格變動不單單是對數正態分布，同時也存在著一種尖峰厚尾的分布;

2.在兩個模型中都假設股票價格的波動率是常數，但在實際的市場中，股票價格的下降一般會使得股票價格的方差增大，反之股票價格的升高一般也會使得股票價格的方差減小，也就是說股票價格的不斷變化會導致波動率也不斷的變化，所以兩個模型中股票價格的波動率為常數的假設并不能得到保證;

3.兩個模型中都假設股票的交易是連續的，股票的交易者可以通過這種不斷的交易來建立一個若干單位股票的多頭和包括一份股票看漲期權空頭的投資組合。從而使得股票看漲期權空頭的收益和損失總是會與股票多頭的損失和收益相互抵消，因此這種投資組合在短期內便可以看成是無風險的。但是在實際的市場中，股票交易的連續性并不一定能夠得到保證。它受到很多因素的限制，比如在借入和貸出一定的資金時它們的無風險利率不一定相同，在不斷的交易過程中會產生較大的交易成本，因實際情況而定，股票并不一定是完全可分的。由于這些因素制約著股票交易的連續性，所以在實際的市場交易中，投資者的風險偏好也將對期權的價格產生一定的影響;

4.兩個模型中都假設沒有交易費用和稅收，但是在實際的交易過程中交易費用是肯定存在的，同時股息的發放金額和時間的不同也會對期權的價格產生一定的影響，對于歐式看漲期權來說，應當使用股票的市場價格減去股息所得到的值來代替股票原來的市場價格，在期權定價模型中運用這個值所計算出的期權的理論價格將更加接近期權實際的市場價格。

參考文獻

[1]B.B.Mnadelbrot,J.W.Van Ness,Frational Brwoninan amotions, fractional noises and applications[J].SIAM Review 10, 1968:422-437.

[2]陳松男.金融工程學[M].上海:復旦大學出版社,2002.

Class No.:F830.91Document Mark：A

(責任編輯：鄭英玲)

Option Pricing of Shanghai 50ETF based on Fractional Brownian Motion Model

Zou Liangkai, Wu Libin

(Quantitative Economic Research Institute, Anhui University of Finance and Economic, Bengbu, Anhui 233030，China)

Abstract：This paper tests the normality of the sequence of the closing price of 50ETF, the test shows the ETF fund market exists a fractal structure. We analyze the option pricing of Shanghai 50ETF based on the fraction B-S model and the B-S model. By comparing the actual error between the theoretical price and the practical price of the option price calculated by the two models, we consider that the fraction B-S model better than the B-S model in the analysis of the option pricing of Shanghai 50ETF.

Key words：50ETF; Fractional Brownian Motion; option pricing; Rescaled Range Analysis

中圖分類號：F830.91

文獻標識碼：A

文章編號：1672-6758(2016)01-0075-3

基金項目：安徽財經大學重點課題“信用衍生品定價研究”(編號：ACKY1402ZD);安徽省教育廳自然課題“基于分數布朗運動的信用衍生品定價及其引用研究”(編號：KJ2013Z001)。

作者簡介：鄒良凱，碩士，安徽財經大學數量經濟研究所。研究方向：數量經濟學。

吳禮斌，副教授，安徽財經大學數量經濟研究所。研究方向：數理統計、計量經濟學。