Banach空間中廣義f-投影算子連續性的應用

張冬楊，蘇亞坤

(渤海大學，遼寧 錦州　121000)

?

Banach空間中廣義f-投影算子連續性的應用

張冬楊，蘇亞坤

(渤海大學，遼寧 錦州121000)

摘要：在自反嚴格凸且光滑的Banach空間中，利用廣義f-投影算子的連續性求解了GVIT(K，T，f)廣義變分不等式。

關鍵詞：廣義f-投影算子；GVIT(K，T，f)廣義變分不等式；對偶變換；連續性

1預備知識

首先給出對偶映射J的一些性質[1]：

1) X是自反的，當且僅當J是滿射；

2) X是嚴格凸的，當且僅當J是單射；

3) X是光滑的，當且僅當J是單值映射；

4) 如果X是光滑的Banach空間，那么J:X→X*是弱星連續的；

5) 如果X是自反嚴格凸且光滑的Banach空間，那么J∶X→X*是X*中的對偶映射且J-1=J*,JJ*=I。

對任意給定的ρ>0，令G:X*×K→R∪{+∞}，定義

下面介紹G函數的性質[2]：

2) 對于φ而言，如果x是固定的，那么G(φ,x)是凸的和連續的；

3) 對于x而言，如果φ是固定的，那么G(φ,x)是凸的和下半連續的。

在已有G函數的基礎上，Wu和Huang[2]在一致凸一致光滑的Banach空間中定義了廣義f-投影算子，即：

文獻[3]給出Banach空間中廣義變分不等式GVI(K,T,f)的定義，即：對任意的x∈K, ρ>0，存在u∈Tx，如果滿足

其中T∶K→X*是集值變換。

另一方面，作為應用，文獻[4]證明了在自反嚴格凸且光滑的Banach空間中廣義f-投影算子是單值且連續的，并應用該性質求解廣義變分不等式：

其中，任意ξ∈X*,A:K→X*。迭代結構為

本文在上述文獻的啟發下，在自反嚴格凸且光滑的Banach空間中，利用廣義f-投影算子的弱對強連續性，求解廣義變分不等式GVI(K,T,f)。

本研究需要以下引理[2]：

引理3若X為自反嚴格凸且光滑的Banach空間，則

引理4如果是任意給定的實數r>0，那么X是一致凸的Banach空間，當且僅當存在嚴格遞增的凸函數 g∶R+→R+，且g(0)=0，使得

其中?x,y∈Br,λ∈[0,1]。

2主要結果

定理1令X是一致凸且光滑的Banach空間，K是X中非空緊凸子集，且0∈K,T∶K→X*是上半連續且閉的， f∶K→R是真凸下半連續的，假設存在β>0，使得J-βT∶K→X*是緊的。假設：對?x∈K, f (x)>0且 f (0)=0;對?x∈K,u∈Tx,都有

(1)

令x0∈K，且{xn}是由下述迭代結構產生的：

(2)

其中{αn}滿足下列條件：

1) 0≤αn≤1;

那么廣義變分不等式GVI(K,T, f)存在近似解x*∈K,且存在{xni}?{xn}，使得當i→∞時，xni→x*。

由引理3和式(1)可得

(3)

另一方面，由G函數的定義及引理2可得

(4)

(5)

由引理4可知：存在連續且嚴格遞增的凸函數g∶R+→R+，且g(0)=0,那么

當n=1,2,3,…,m時，對上面的不等式兩端加和，可得

當n→∞時，上式也就是

(6)

(7)

由g函數的性質可知

由于{xni}是有界的，且J-βT在K上是緊的，那么{Jxn-βun}有子列強收斂于φ∈X*。不失一般性，假設存在子列{Jxn-βun}，且Jxn-βun→φ0∈X*,由于X是一致凸的，那么X有H性質，且根據引理5可知：廣義f-投影算子是連續的。從而可得

(8)

(9)

因此結合式(7)～(9)可得

(10)

參考文獻：

[1]WU K Q， HUANG N J. The generalized f-projection operator with an application,in Bull Austral[J]. Math Soc,2006,73:307-317.

[2]WU K Q, HUANG N J.Properties of the generalized f-projection operator and its applications in Banach spaces[J]. Computers and Methematice with Applications,2007,54:399-400.

[3]XU H K.Inequacities in Banach spaces with applications[J].Nonlinear Anal,1991,16:1127-1138.

[4]張冬楊 關偉波.Banach空間中廣義f-投影算子的連續性及其應用[J].哈爾濱師范大學自然科學學報,2013(1):5-7.

[5]郭大鈞，孫經先.Banach空間常微分方程理論的若干問題[J].數學進展,1994(6):492-503.

[6]劉炳妹,劉立山.Banach空間中二階非線性混合型脈沖微分-積分方程的解[J].系統科學與數學,2011(5):583-590.

[7]張玲忠,李永祥.Banach空間非線性Sturm-Liouville邊值問題的正解[J].數學物理學報,2009(3):784-793.

[8]肖鵑，謝榮華，鄧磊.Banach空間中有限漸近擬非擴張映射族的收斂定理[J].西南大學學報(自然科學版),2014,36(2):87-91.

[9]周友明.Banach空間中二階微分方程的周期邊值問題[J].應用數學學報,2006(3):436-444.

[10]王濤.Banach空間中非線性完全三階微分方程周期解的存在性[J].西南大學學報(自然科學版),2011,33(12):112-115.

(責任編輯陳艷)

Application of Generalized f-Projection Operation’s Continuity in Banach Spaces

ZHANG Dong-yang, SU Ya-kun

(Bohai University, Jinzhou 121000, China)

Abstract:We solved GVI(K,T,f) generalized variational inequality by the continuous of the generalized f-projection operation in reflexive strictly convex and smooth Banach space.

Key words:generalized f-projection operation; GVI(K,T,f) generalized variational inequality; duality mapping; continuity

中圖分類號：O177.2

文獻標識碼：A 1674-8425(2016)03-0149-04

doi:10.3969/j.issn.1674-8425(z).2016.03.025

作者簡介：張冬楊(1987—)，女，黑龍江人，碩士研究生，主要從事運籌學與控制論研究。

基金項目：遼寧省教育廳基金資助項目(64603043)

收稿日期：2015-06-28

引用格式：張冬楊，蘇亞坤.Banach空間中廣義f-投影算子連續性的應用[J].重慶理工大學學報(自然科學)，2016(3):149-152.

Citation format：ZHANG Dong-yang, SU Ya-kun.Application of Generalizedf-Projection Operation’s Continuity in Banach Spaces[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2016(3):149-152.