有關三角形相似的討論

陳頌

摘 要：我們知道，相似三角形有幾種判定定理，這些定理形式各異，都需要我們好好的來理解。本文分別對這幾種判定定理進行分析，并且梳理相關的知識點，希望能夠對讀者有所啟發。

關鍵詞：相似 三角形

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1672-1578（2016）09-0033-01

我們知道，相似三角形有幾種判定定理，這些定理形式各異，都需要我們好好的來理解。本文分別對這幾種判定定理進行分析，并且梳理相關的知識點，希望能夠對讀者有所啟發。

1 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似

這種情況可以類比考慮以下情形：設直線AB與直線CD平行，直線l1與直線l2相交于點O，直線l1分別與直線AB、CD相交于點A、D，直線l2分別與直線AB、CD相交于點B、C，此時可以分為兩種情況：

（1）點O在直線AB與CD之間。此時三角形OAB與三角形OCD相似（對頂角相等，兩對內錯角相等，且AO∶OD=BO∶OC）。

（2）點O在直線AB與CD之外（有兩種情況：在直線AB之外與在直線CD之外。由于對稱性，兩種情況是一致的，所以歸為一種）。此時三角形OAB與三角形OCD有一個公共的角O。又由于同位角相等，三角形三個角對應相等。且OA∶OC=OB∶OD.三角形OAB與三角形OCD相似。這種情況可以與以下知識點相聯系：三角形的中位線。我們知道，三角形的中位線與底邊平行，且等于底邊長的一半。此時兩個三角形相似，且邊長之比即相似比為1∶2，面積之比為相似比的平方，為1∶4。

2 如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似

這種情況就是上述中的情況（2）。

3 如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似

我們知道如果兩個三角形三條邊對應成比例的話，那么我們可以將其中一個三角形平移，平移的位置可以是上述的情況（1），即有一對角是對頂角。也可以是情況（2），即有一對角重合。我們將之前的推理反過來，由平行線的性質，可以得出兩個三角形相似的結論。具體如下：

假設三角形ABC與三角形A′B′C′對應邊成比例，即AB∶BC∶AC=AB′∶BC′∶AC′，那么我們可以將三角形A′B′C′平移至點A′與點A重合，且AB與A′B′在同一條直線上。此時由于AB∶AC=AB′∶AC′，故BC∥B′C′，故由于同位角相等，三角形ABC與三角形A′B′C′有兩對角對應相等。角A為兩個三角形的公共角。此時三角形ABC與三角形A′B′C′相似。

如果我們學習了解三角形的知識，由余弦定理（已知三邊長，可以求出三個角的大小）我們可以得到，上述兩個三角形對應角相等。于是三角形相似。

4 如果兩個三角形的兩個角分別對應相等（或三個角分別對應相等），則有兩個三角形相似

我們知道，三角形內角和是180°，那么如果已知兩個三角形的兩個角分別對應相等，則第三個角也對應相等。我們假設三角形ABC與三角形A′B′C′對應角相等，即∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，那么我們可以將三角形A′B′C′平移至點A′與點A重合的位置，且點B′在邊AB或AB的延長線上。此時由于∠B=∠B′，∠C=∠C′，故BC∥B′C′，故三角形ABC與三角形

A′B′C′三邊對應成比例。故三角形與ABC三角形A′B′C′相似。

5 特殊的直角三角形相似的判定定理

直角三角形被斜邊上的高分成兩個直角三角形和原三角形相似。這種情況要利用余角的性質，得到有一對（或兩對，一對也夠用）相同的銳角，由上述情況四知，直角三角形與原三角形相似。

如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似。由勾股定理可以得到，若上述已知條件成立，那么這兩個直角三角形另外一對直角邊也與斜邊對應成比例，應用上述情況三知，兩三角形相似。

另外，全等三角形是特殊的相似三角形，相似比為1∶1。同學們也可以把全等三角形和相似三角形的判定定理對比研究，相信會很有收獲。