張量分析教學內容改革的研究與實踐

陳新 左建平

摘 要：張量的概念和張量分析在力學和物理學中得到了廣泛應用。目前在高等院校理工科本科教學中，不可避免地涉及到《張量分析》課程或相關內容的講授。在該課程教學中，除了訓練學生扎實、系統地掌握張量的定義、本質、運算和應用外，還應注重對學生綜合能力、實踐能力和創新能力的培養。結合筆者教學工作體會，為了提高教學效果提出了課程教學內容改革的措施，包括優化和拓展教學內容、加強與先修和后修課程的聯系等。實踐證明，該方法的教學效果良好。

關鍵詞：張量分析 教學內容 教學改革

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2016）03（c）-0116-02

Abstract：The concept of tensor and tensor analyses has wide application in mechanics and physics.At present，teaching tensor analyses as an independent course or a chapter in relevant courses is very popular for science and engineering undergraduate students in college or university.For the course of tensor analysis，the objective is to systematically training the students to master the definition，basic characters，calculation and application of tensor algebra，as well as to improve their comprehensive，practical and innovation abilities in scientific thinking.Based on many years teaching experience of the authors，some reformation measures on the course content are proposed to improve teaching effect， which includes optimization and extension of course content and strengthen the relation with the prerequisites and subsequent courses.The application of these measures in teaching has received good effect.

key Words：Tensor analysis；The course content；Teaching reformation

自愛因斯坦以張量分析作為數學工具提出的廣義相對論獲得巨大成功后，張量分析在力學和物理學中得到了廣泛應用。張量整體在坐標變換下的不變性揭示了力學物理量的本質屬性，而張量在曲線坐標系下的微分運算則是研究非線性大變形問題的數學工具。近幾十年來，越來越多的力學文獻和教材都采用張量符號書寫，張量概念和張量分析方法已經成為力學工作者必需掌握的數學工具。

目前，在高等院校理工科類本科生的教學中，或多或少地涉及到了張量分析的內容。直線直角坐標系下的張量分析，包括指標符號系統、張量的定義、張量代數和笛卡爾張量的微分運算等內容，已經滲透到連續介質力學各分支學科的教材和專著中，且掌握起來較為容易，通常作為非力學專業本科生的彈性力學或流體力學等課程的某一章節進行講授。而一般曲線坐標系下的張量分析則較為復雜和抽象，初學者不易理解和掌握，通常作為力學專業本科生或理工科類（電氣、土木、水利、地質、力學等專業）研究生的課程進行講授。

張量分析作為筆者學校工程力學專業本科生的專業必修課，教學時數為32學時。所用教材為該校宋彥琦教授編著的講義《張量及其應用簡明教程》，內容主要涉及到直線直角坐標系下的張量分析和一般曲線坐標系下的張量分析初步。為了培養學生的綜合能力、實踐能力和創新能力、提高教學質量，筆者及所在教研室教師結合多年的教學經驗，以培養學生扎實、系統地掌握張量的定義、本質、運算和應用方面的綜合能力、實踐能力和創新能力為目標，在課程的教學內容上進行了優化和改革，形成了獨具特色的教學內容新體系。

1 突出基本概念和核心內容

課程教學內容包括：第1章緒論、第2章張量代數、第3章張量微分和在第4章張量分析的應用。其中，第2章和第3章為核心內容，第1章和第4章為拓展內容。課程最為基本的概念當屬張量的定義。

張量作為整體在坐標變換下不變，而其在具體坐標系下的分量，當發生坐標變換時滿足一定的變換規律，稱之為協變性。整體不變、分量協變是張量定義的核心，反映了張量是真正的幾何量從而與坐標變換無關的本質屬性。

張量作為矢量概念向高階的推廣，在坐標變換下的分量協變關系，是由其組成特點決定的。張量由基張量和其對應的張量分量組成。張量的分量則是基張量標尺下的具體讀數，二者協調變化以保持張量的整體不變性。例如，設有新舊兩個直線直角坐標系和，對應的基矢量分別為和。則任意的N階張量在兩個坐標系下的分量形式分別為：

上述張量定義的解讀建立了張量分析與矢量分析的內在聯系，以此將核心內容如指標符號系統、張量代數、直線直角坐標系和一般曲線坐標系下張量的微分運算等以知識單元串聯起來，讓學生在復習和鞏固矢量運算相關知識的基礎上理解和掌握張量運算，就順理成章了。

2 加強與其他課程的聯系

筆者學校張量分析本科生課程在大學三年級上學期或二年級下學期開設。為了提高學生的綜合能力和實踐能力，在課程內容中加強與相關課程的聯系是十分必要的。

張量分析的先修課程為高等數學、線性代數和矢量分析，課程相關內容包括：（1）線性代數的相關知識[1]，如行列式、矩陣運算、線性變換等；（2）高等數學和矢量分析中標量和矢量微分運算，如梯度、散度、旋度、高斯公式和斯托克斯公式等。上述內容在張量分析中的基礎作用不容忽視，需要對相關知識點進行鞏固、復習和采用新視角進行解讀，加強學生融會貫通應用所學知識的能力。

張量分析對于后續課程如流體力學和彈性力學等的作用體現在兩個方面：（1）實用性：利用指標記法能把繁瑣的方程寫的簡潔、緊湊、物理意義明確；（2）必要性：張量方程能滿足物理定律必須與坐標系選擇無關的特性，且曲線坐標系下的微分運算方法是研究非線性大變形問題必備的數學工具。

張量分析的先修無疑給后續課程的學習帶來了方便[2]，但也給教師的講解帶來一定的困難。要求教師重點說明張量分析在后續課程中的應用原理，提綱挈領地介紹彈性力學和流體力學中相關方程的基本概念和核心思想，不過多涉及其詳細內容，把握好講授的深度與廣度。

為此，將第四章內容進行了大幅度調整。結合給研究生講授連續介質力學的教學經驗，對固體力學和流體力學中的張量方程建立及轉換為曲線坐標系下的形式，以平衡方程為例只介紹基本方法和一般步驟，而將重點放在介紹基本方程在笛卡爾坐標系下的分量形式和不變性形式。對這些張量方程的知識背景和推導過程，則通過給學生下發補充講義做詳細介紹。這樣一來，即使學生當時不能完全理解，在后續課程學習中也可以進行翻閱和自學，從而將張量分析和其他課程有機地進行融合。否則，若過多地涉及各張量方程在曲線坐標系下的具體形式，不僅繁瑣、枯燥、學時不夠，還使得學生一頭霧水。

3 拓展教學內容激發學習興趣

為了培養學生的創新精神、激發學習興趣、開闊視野，增加了教學的拓展內容。

通過查閱相關資料和文獻[3]，在第1章緒論中給學生系統地介紹張量分析的發展歷史。包括：（1）張量概念的起源：凱萊的抽象代數、非歐幾何、高斯的內蘊幾何思想、黎曼的高維彎曲空間思想和流形概念；（2）張量分析的建立：貝爾特拉米的曲線微分幾何和微分形式不變量、克里斯托弗符號、里奇和契維塔的絕對微分學；（3）張量分析的應用——愛因斯坦廣義相對論：基于微分幾何學的時空度規張量與以張量方程表達的引力方程。

此外，積極拓展課堂外的教學活動，包括開展文獻閱讀課、研討課等。例如，結合教師與張量分析有關的科研課題“張量在油井井壁穩定分析中的應用”，引導學生運用所學的張量分析知識參與課題的研究討論，激發學生的學習興趣，提高學生的實踐能力和創新能力。

4 教學內容改革的實踐效果

經過近幾年的教學內容改革實踐，在教學中取得了顯著成效：（1）通過優化教學內容，突出基本概念和核心內容，節約了課時，為引入拓展內容提供了條件；（2）通過加強與先修和后修課程的聯系，提高了學生對知識的貫通和應用能力；（3）通過拓展教學內容，開拓了學生的視野、激發了學習興趣、培養了創新意識。

上述教學內容的改革提高了教學質量，學生在張量分析基礎知識的掌握、應用方面較為扎實，綜合能力、實踐能力和創新能力都有所提高，為該校創新性人才的培養貢獻了力量。

參考文獻

[1] 徐菲.線性代數在張量分析中的基礎作用[J].科技信息，2008（30）：167.

[2] 彭樂生.在力學教學中及早普及張量的建議[J].教材通訊，1985（2）：14-15.

[3] 黃勇.張量概念的形成與張量分析的建立[D].山西大學，2004.