關(guān)于算法多樣化的思考與實(shí)踐

孫家芳

【編者按】“計(jì)算能力”是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必備能力。計(jì)算能力的培養(yǎng)，是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)之一。教師對學(xué)生計(jì)算能力培養(yǎng)的日趨重視，“算法多樣化”一詞，也常被教師們掛在嘴邊。課堂上百花齊放、百家爭鳴的態(tài)勢成為不少教師在處理計(jì)算教學(xué)時(shí)所追求的理想狀態(tài)，卻對算法多樣化的存在意義、算法優(yōu)化處理的認(rèn)識有所偏差。本期專輯聚焦“小學(xué)數(shù)學(xué)算法多樣化教學(xué)”。

當(dāng)前，算法多樣化已成為教師習(xí)以為常的教學(xué)行為，算法多樣化與算法最優(yōu)化的理念也日益深入教師的內(nèi)心。然而，算法多樣化的現(xiàn)狀如何？為什么會(huì)有算法多樣化？算法多樣化的目的是什么？算法多樣化的時(shí)機(jī)怎樣把握？算法多樣化有沒有可遵循的模式？算法多樣化的主人是誰？眾多問題隱含在教學(xué)中，帶著這些思考，筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐和大家交流。

一、“算法多樣化”在實(shí)際教學(xué)中的現(xiàn)狀

在平日的教學(xué)中，我們經(jīng)常看到教師們?nèi)绱藥ьI(lǐng)學(xué)生進(jìn)行算法多樣化的學(xué)習(xí)。

【原始案例】兩位數(shù)加兩位數(shù)進(jìn)位加法的口算

布置研討話題：請你用不同的方法計(jì)算37+45，并把你的思考過程寫清楚，讓別人看明白。

交流研討：

師：誰來說說你是怎么算的。

生：我先算37加40等于77，再算77加5等于82。

教師一邊重復(fù)學(xué)生的語言一邊畫出思路圖。（圖1）

師：他的想法對不對？

師：還有不同的方法嗎？

生：我先算30加40等于70，再算7加5等于12，最后算70加12等于82。

教師一邊重復(fù)學(xué)生的語言一邊畫出思路圖。（圖2）

師：他的想法對不對？

師：還有不同的方法嗎？

生：我把45分成3和42，先算37加3等于40，再算40加42等于82。

教師一邊重復(fù)學(xué)生的語言一邊畫出思路圖。（圖3）

師：他的想法對不對？

師：還有不同的方法嗎？

生：我把45分成43和2，先算37加43等于80，再算80加2等于82。

教師一邊重復(fù)學(xué)生的語言一邊畫出思路圖。（圖4）

……

在此基礎(chǔ)上，教師又組織學(xué)生按照類似的思路，將37進(jìn)行分解研究，衍生出類似的算法，然后教師組織學(xué)生小結(jié)并擇優(yōu)。

師：就是一道簡簡單單的計(jì)算題37+45的和，我們就能用8種方法進(jìn)行計(jì)算，多棒啊。這8種方法中你喜歡哪個(gè)？

生：我喜歡第一種方法，因?yàn)樗怯玫谝粋€(gè)加數(shù)和后面的整十?dāng)?shù)相加。

師：哦，是這樣，還有喜歡別的方法的嗎？

生：我喜歡第二種方法，因?yàn)樗鞘粩?shù)和十位數(shù)相加，個(gè)位數(shù)和個(gè)位數(shù)相加，最后再求和。

……

師：就像大家說的，你喜歡哪種方法就用哪種方法吧。

從表面上看，學(xué)生和教師共同經(jīng)歷了算法多樣化的過程：首先，學(xué)生在教師布置的話題下進(jìn)行獨(dú)立思考，然后把自己的思考記錄在紙上；其次，學(xué)生在教師的組織下進(jìn)行交流。在交流的過程中，每個(gè)學(xué)生都展示了自己的想法，然后補(bǔ)充其他的想法；最后梳理出8種方法，并從中選擇自己喜歡的方法。

該教學(xué)過程看似沒什么問題，但仔細(xì)思考后筆者產(chǎn)生了這樣的疑問：①在每個(gè)學(xué)生表達(dá)自己想法的時(shí)候別的學(xué)生是不是在認(rèn)真的傾聽？②學(xué)生聽一遍別人的想法是不是就能內(nèi)化為自己的想法？③在學(xué)生交流算法的過程中教師的作用是什么？④算法多樣化的目的是什么？算法多樣化給學(xué)生的是知識教育還是全人的養(yǎng)成？算法多樣化可以為學(xué)生的終身成長奠定什么？

二、怎樣進(jìn)行算法多樣化

同樣的交流過程，筆者只是建議教師們增加這樣的引導(dǎo)語。

【改進(jìn)后的案例】

師：誰來說說你是怎么算的。

生：我先算37加40等于77，再算77加5等于82。

師：（對學(xué)生的發(fā)言作價(jià)值判斷后）誰聽見他說的了，再給我們說一說。

師：（學(xué)生重復(fù)一遍后）誰又聽見他說的了，再給我們說說。

師：（學(xué)生再重復(fù)后）兩個(gè)人互相說說他的思路。

師：（學(xué)生相互重復(fù)后）誰能把他的想法用算式表示出來讓我們看明白。（圖1）

師：這位同學(xué)的思路是什么，誰能結(jié)合這個(gè)算式說說。

師：（學(xué)生重復(fù)一遍后）誰再結(jié)合這個(gè)算式給我們說說。

師：（學(xué)生重復(fù)后）兩個(gè)人結(jié)合這個(gè)算式互相說說他的思路。

師：（慢慢地帶領(lǐng)學(xué)生梳理）這位同學(xué)的想法是先算37與40的和，再把這個(gè)和加上5即可。

師：除了這個(gè)想法，還有不同的方法嗎？誰來補(bǔ)充。

生：我先算30加40等于70，再算7加5等于12，最后算70加12等于82。

重復(fù)上面的過程。

師：（梳理）現(xiàn)在我們有兩種方法了，第一種方法是先算37與40的和，再把這個(gè)和加上5；第二種方法是先算兩個(gè)整十?dāng)?shù)的和，再算兩個(gè)個(gè)位數(shù)的和，最后把它們加起來。

師：除了這兩個(gè)方法，還有其他方法嗎？

對比兩個(gè)案例的第一個(gè)環(huán)節(jié)，相同的是學(xué)生經(jīng)歷同樣的過程，不同的是增加了兩次確認(rèn)和一次梳理。

第一次確認(rèn)的目的是讓每個(gè)學(xué)生先聽清楚他人是怎么想的，為學(xué)生有能力辨析他人的想法和自己的想法是否一樣奠定基礎(chǔ)，也為后面的算式表征奠定基礎(chǔ)。第二次確認(rèn)是在學(xué)生用算式表征后，這次確認(rèn)的目的是讓每位學(xué)生都清楚地知道語言表征和符號表征的意思是相同的，提升學(xué)生兩種語言的互譯能力。梳理的過程是學(xué)生再現(xiàn)的過程，不僅可以給學(xué)生豐富的表現(xiàn)支撐，也可以培養(yǎng)學(xué)生有序思維，為后面不同思路的研究奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

三、教育的目的是什么

雖然我們今天交流的是算法多樣化的教學(xué)，然而，筆者更想借助算法多樣化的交流，和同行們共同思考教學(xué)的目的是什么，教育的目的是什么，教育改革的目的又是什么？我們的教育改革應(yīng)該讓學(xué)生有實(shí)際獲得感，讓家長有實(shí)際獲得感。這不僅應(yīng)成為所有教育改革的出發(fā)點(diǎn)，也應(yīng)該是歸宿點(diǎn)，并在改革實(shí)踐中成為判斷改革與否的唯一標(biāo)準(zhǔn)。（北京市教委委員，李奕）

我們的教學(xué)讓學(xué)生有哪些實(shí)際獲得感呢？筆者想從三個(gè)維度和大家交流。

1. 讓學(xué)生獲得知識。

毋庸置疑，無論什么內(nèi)容的課都要讓學(xué)生獲得知識，獲得的意思是取得、得到，獲得知識就是取得、得到知識，那在“兩位數(shù)加兩位數(shù)進(jìn)位加法的口算”這節(jié)課中學(xué)生獲得哪些知識？我們細(xì)細(xì)分析。

（1）確定學(xué)生獲得知識的基本思路。學(xué)生在學(xué)習(xí)任何一節(jié)課之前都是有學(xué)習(xí)起點(diǎn)的，經(jīng)過師生40分鐘的勞動(dòng)就會(huì)有學(xué)習(xí)終點(diǎn)，我們通過學(xué)生學(xué)習(xí)起點(diǎn)與學(xué)習(xí)終點(diǎn)的知識差確定獲得了哪些知識。

（2）分析“兩位數(shù)加兩位數(shù)進(jìn)位加法的口算”這節(jié)課學(xué)生獲得的知識。第一環(huán)節(jié)：教師通過布置研討話題“請你用不同的方法計(jì)算37+45，并把你的思考過程寫清楚讓別人看明白”了解學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)。第二環(huán)節(jié)：通過學(xué)生之間的相互交流，使學(xué)生知道除了自己采用的方法，還有其他的思路，并學(xué)會(huì)這些思路，知道哪些方法比較好，哪些方法麻煩些，這應(yīng)該是本節(jié)課的學(xué)習(xí)終點(diǎn)。那么，這節(jié)課學(xué)生獲得的知識應(yīng)該是由原來的兩三種方法增加到最后的八種方法。但是因?yàn)榻處熢谘杏戇^程中確認(rèn)、梳理的比較少，基本形成課前會(huì)的課后還會(huì)，課前不會(huì)的課后還不太懂，因此學(xué)生獲得的知識比較少。

（3）學(xué)生獲得知識的基本方法——有效的確認(rèn)、梳理。

有效的確認(rèn)首先來源于對學(xué)生的發(fā)言作價(jià)值判斷而不是對錯(cuò)判斷。也就是說，我們在認(rèn)真傾聽學(xué)生發(fā)言的過程中，要努力思考學(xué)生發(fā)言的意思是什么，和本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是否相關(guān)，怎樣借用學(xué)生的發(fā)言引導(dǎo)全班學(xué)生進(jìn)行更深入的研討。當(dāng)我們確認(rèn)學(xué)生的發(fā)言有價(jià)值的時(shí)候，我們要進(jìn)行確認(rèn)，通過不斷地確認(rèn)，把一個(gè)學(xué)生的想法變成全班的想法，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行更深入的思考。學(xué)生經(jīng)歷這樣的過程，不斷地將別人的想法聽清楚、想明白，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行梳理，不斷地把別人的想法內(nèi)化為自己的想法，也使得學(xué)生的思維更加有序化。

2. 讓學(xué)生獲得見識與視野。

任何一節(jié)課沒有知識是不行的，但僅僅獲得知識也是不行的，我們還要讓學(xué)生獲得見識與視野。見識，見多才能識廣，這是一個(gè)人對事物的看法和態(tài)度；視野，是視力所及的范圍。讓學(xué)生獲得見識與視野，就是讓學(xué)生見得多、看得遠(yuǎn)。

怎樣讓學(xué)生獲得見識與視野？教學(xué)中可以通過不斷地確認(rèn)與梳理，使學(xué)生不僅知道自己的想法，還知道他人的，知道把他人的想法不僅要聽清楚、想明白，還要內(nèi)化為自己的想法，知道天外有天、人外有人。

如果我們每一天的數(shù)學(xué)課都讓學(xué)生在傾聽、交流、研討中度過，那么，學(xué)生會(huì)慢慢形成一種習(xí)慣，一種做事情首先要有自己的想法，然后要聽清楚他人的想法，并不斷地把他人的想法變成自己想法的習(xí)慣，長大后，學(xué)生不僅有獨(dú)立思維和清晰、連續(xù)表達(dá)的能力，善于傾聽的能力，歸納總結(jié)和提取有效信息的能力等，還會(huì)尊重人、尊重思維，謙和、包容、海納百川，我們就為孩子的一輩子奠定了良好的基礎(chǔ)。

3. 讓學(xué)生獲得核心素養(yǎng)。

《21世紀(jì)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)研究》一書中指出，核心素養(yǎng)是適應(yīng)學(xué)生終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備的品格和關(guān)鍵能力。就數(shù)學(xué)學(xué)科而言，必備的品格指的是數(shù)感、符號意識，具體體現(xiàn)在聯(lián)系、語言、目標(biāo)的轉(zhuǎn)換、相對的嚴(yán)謹(jǐn)、反思；關(guān)鍵能力指的是運(yùn)算能力、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、推理能力等。

具體到這節(jié)課，學(xué)生用生活形象語言、動(dòng)作語言、數(shù)學(xué)圖形語言、數(shù)字符號語言、連續(xù)性文本語言等不同的表征方式表達(dá)出對數(shù)的直覺，因此就有了不同的算法，算法多樣化為學(xué)生提供一個(gè)交流的平臺，在這個(gè)平臺上，學(xué)生間讀懂、溝通、分享、優(yōu)化，展示了數(shù)學(xué)除了計(jì)算之外的另外兩個(gè)非常重要的屬性，一個(gè)是語言屬性，即用數(shù)學(xué)的語言進(jìn)行表達(dá)；第二個(gè)是工具屬性，即把數(shù)學(xué)當(dāng)作重要的工具來解決生活中的各種問題，通過數(shù)學(xué)，把所有問題量化出來，使每個(gè)人按照這樣的標(biāo)準(zhǔn)做出同樣的東西。

數(shù)學(xué)是讓人認(rèn)真的學(xué)科。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，需要從生活現(xiàn)象中覺察有趣的結(jié)構(gòu)，盡可能通過模擬操作來理解這些結(jié)構(gòu)微妙之處，并嘗試描述它，通過與他人的分享交流來簡化、優(yōu)化我們的描述，以使得他人真正理解到我們想要說明的，這一系列的活動(dòng)可以幫助學(xué)生獲得良好的核心素養(yǎng)。

（作者單位：北京市朝陽區(qū)教育研究中心）