常利率下帶投資和干擾的再保險風險模型研究

【摘要】本文研究了在常數利息力和常數投資回報率的情況下，考慮投資、再保險因素以及干擾項的影響，設定保險公司的保單數和索賠次數服從負二項分布，建立了一類帶投資和干擾項的再保險風險模型。利用概率統計和保險精算的方法研究了該模型的相關性質，給出了該模型破產概率的一個顯式表達式，同時求出了破產概率的Lundberg上界值。由于模型的引入更加符合實際，該研究結果對于保險公司的經營和決策具有一定的指導意義。

【關鍵詞】破產概率 常利率 再保險 負二項分布 Wiener過程 Lundberg上界

目前，在保險風險理論中，特別是在非壽險的精算理論研究中，有許多關于破產問題的研究都是基于經典風險模型提出和建立的，即：

U（t）=u-ct+S（t）

式中，u（u≥0）為保險公司的初始準備金，c（c>0）為常數，表示保險費率，S（t）是到t時刻為止的總保險賠付額。

在對保險風險模型的研究和推廣中，文獻[1-3]研究了利率因素的影響，文獻[4-5]研究了再保險因素的影響，文獻[6-7]研究了干擾項因素的影響，文獻[8-11]研究了保險公司自身投資的影響.在保險公司的實際經營活動中，保險公司需要綜合考慮利率、投資和再保險等方面的許多因素來選擇經營戰略，保持經營的穩定性、連續性和盈利性。

本文在上述文獻的啟發下，同時考慮了利率、投資和再保險因素的多重影響，在索賠額服從負二項分布的情形下，利用微分方程和遞推法得到了連續時間風險模型的破產概率的顯式表達式及其Lundberg上界值。

一、模型的建立

定義1-1 設u>0，c>0定義在同一完備概率空間（Ω，F，P）上，給定：

第一，u是保險公司的初始資本，c為單位時間內收取的保費費率，cR為單位時間內原保險人支付給再保險人的費率，i為常數利息率，j為單位時間內的投資收益率，F為根據初始因素而得到的應用于投資的資金，均大于零。

第二，Xk表示第k次的索賠額，且{Xk，k≥1}為取正值的獨立同分布隨機變量序列，N（t）表示時間段（0，t]內賠付總次數服從參數為（α，p）的負二項分布。

第三，Yk=Y（Xk）表示加入再保險后，原保險人承擔的風險函數，以下記My（r）表示索賠額Yk=Y（Xk）（k≥1）的矩母函數.顯然，在這里，0≤Yk

第四，M（t）表示時間段（0，t]內保險公司收到的保單數服從參數為（β，q）的負二項分布。

第五，W（t）是一個標準的Wiener過程，它表示利率波動、不確定收益和支出等因素，其中σ為干擾因子。

為了討論方便，有如下假設：

①{Xk，k≥1}，{N（t），t≥0}，{M（t），t≥0}，{W（t），t≥0}相互獨立

②為保證保險公司穩定經營，假設單位時間內平均保費收入大于平均理賠額，即ES（t）>0。

則t時刻保險公司的盈余為：

其中，

定義1-2 破產時刻為T=inf{t：U（t）<0}，破產概率為ψ（u）=P{T<∞|U（0）=u}

二、主要結果及證明

定理2-1 盈余過程{U（t）≥0}具有平穩獨立增量性

證明：令0≤t0≤t1≤...≤tn，則

和Y（XN（t2））-Y（XN（t1）），Y（XN（t3））-Y（XN（t2）），Y（XN（tn））-Y（XN（tn-1）），

是相互獨立的，因此，{U（t），t≥0}是獨立增量過程

又因為

對一切t≥0，M（t+m）-M（t），SR（t+m）-SR（t），W（t+m）-W（t）分別具有相同的分布，所以，對一切t≥0，U（t+m）-U（t）也有相同的分布，因而{U（t），t≥0}是平穩獨立增量過程。

綜上所述，盈余過程{U（t），t≥0}具有平穩獨立增量性。

定理2-2 對于盈利過程{S（t），t≥0}，存在函數g（r），r≥0，使得E[e-rs（t）]=etg（r），并且函數g（r）=0，存在唯一正解R，稱為調節系數。

證明：

即g（r）為凸函數，故方程g（r）=0至多有兩個解，r=0為其平凡解.

因為當r充分大時，有g'（r）>0，因此，方程g（r）=0有且僅有一個正解，記為R，定理由此得證。

定理2-3 考慮盈余過程{U（t），t≥0}，其最終破產概率為：

其中R為調節系數.

當t→∞時，（2）式右邊第一項為E[e-RU（t）|T≤∞]ψ（u），若是可以證得（2）式右邊第二項（記為I2）趨于零，則定理得證.因為對于給定的T，U（T）與S（t）-S（T）獨立，于是

對充分大的t，將展開I2，有

由此定理得證，此式為該風險模型破產概率的精確顯式表達式。

定理2-4 考慮盈余過程{U（t），t≥0}，其最終破產概率的一個Lundberg上界為：

其中R為調節系數.

證明：

由定理2-3可知：

定理得證，這是該風險模型破產概率的一個Lundberg上界.

三、結束語

本文圍繞經典風險模型盈余過程U（t）=u-ct+S（t）進行探究，并將該模型進行了合理的推廣，考慮并引入了利率、投資、再保險因素以及干擾項的影響，將原始模型中的保費收入以及索賠額分布均進行了改進，使得改進后的模型更加符合實際且更具有一般性.本文求出了該模型的破產概率表達式和Lundberg上界，保險公司可以根據該理論來研究和確定初始資本、投資資本、保費費率以及再保險的規模，從而更好的幫助保險公司經營和決策。

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作者簡介：鄧皓天（1994-）男，漢族，湖南懷化人，上海財經大學公共經濟與管理學院投資系本科生，主要研究方向為房地產與金融投資。