一道因式分解題的猜與拆

朱澤峰

新教學大綱對因式分解拆項已不作要求，鑒于數學是一門邏輯思維要求較高的學科，現在不妨就首項系數為1的整系數一元多項式拆項法淺作探究。

如題目：分解因式x3+6x2+11x+6。這是一道用因式分解法（拆項）來做的因式分解題。一般拆的方式各有千秋，可結果都相同。于是我猜想：這些拆項是不是有規律可循？看到分解的結果，我聯想到求根分解法。

一元多項式f（x）= x3+6x2+11x+6的次數為3，若能分解因式，則必含一次因式（x-a）。如何確定a？

根據因式定理，如果f（a）=0，則多項式含有因式（x-a）。問題的關鍵變為如何找a（首項系數為1，則a必為常數項的約數）。根據實際情況，我選擇了由猜想到拆項的方法。

經過思考，不少同學猜得f（-1）=0（a=-1），因此確定了一個公因式（x+1）。如何確定其他因式？

可采用綜合除法，也可把三個因式都猜出來，但前者難度大，后者主觀性強，于是筆者選擇了易于理解的拆項法。

常數項、一次項、二次項等都可以拆，但必須滿足拆完后重新組合有一組明顯地含因式（x+1）。由整除性可知，余數也一定能被（x+1）整除，即余數項必含因式（x+1）。若余數項不明顯，則繼續拆，依此類推。

故：解f（x）= x3+6x2+11x+6

=（x3+x2）+（5x2+11x+6）

= x2（x+1）+（5x+6）（x+1）

=（x+1）（x2+5x+6）

=（x+1）（x+2）（x+3）

也有同學猜到a=-2或a=-3，道理同上。

其實，這類題通過分拆常數項、一次項、二次項，或同時分拆兩項、同時分拆三項，可得到無限多種拆項方式。

還是以a=-1，圍繞公因式（x+1）展開。

f（x）= x3+6x2+11x+6

=（6x2+x-5）+[（x3+1）+（10x+10）]

=（6x2+2x-4）+[（x3+1）+（9x+9）]

=（6x2+3x-3）+[（x3+1）+（8x+8）]

= ……

=（6x2+6x+0）+[（x3+1）+（5x+5）]

=（6x2+6x+1）+[（x3+1）+（4x+4）]

= ……

=[6x2+mx+（m-6）]+{（x3+1）+[（11-m）x+（11-m）]}（m∈Z+）

這樣，第一組用十字相乘法（當m=6時直接提公因式），含有因式（x+1），第二組前部為立方和公式，后部分提公因式都可得因式（x+1），因此這種拆項法可行。同時第一組的通式為x2+mx+（m-6）（m為正整數），由m的無窮性可知拆項的方式無窮。

另外，還可類似地取通式5x2+mx+（m-5）、4x2+mx+（m-4）、3x2+mx+（m-3）（m為正整數）作為拆項的線索。

猜想雖然是一種主觀的感性思維，但正確的猜想總是建立在一定的感性認識的基礎上，是對事物的認識處于朦朧狀態時作出大膽的超前想法，是思維的火花。

為了使猜想變成現實，我們必須由感性認識上升到理性認識，以取得規律性的認識，這樣才能有效指導人們的實踐活動。本文的“拆項”正是對這一過程的理性回答。