淺談分類討論思想在初中數學解題中的運用

楊敏

依據數學研究對象本質屬性的相同點和差異點，將數學對象分為不同種類的數學思想叫做分類討論思想.所謂分類思想，就是將事物進行分類，然后對劃分的每一類分別進行研究和求解；當問題所給的對象不能進行統一研究時，就需要對研究對象按某個標準分類，然后對每一類分別剖析，得出每一類的結論，最后綜合各類所得結果得到整個問題的解答.所謂分類討論就是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的過程.

事實證明，分類的優劣不僅決定著解法的簡繁，而且直接影響解題的成敗.不同的分類， 解題過程的簡繁也是不一樣的，它取決于分類的標準.分類討論一般分為四步：第一，明確討論的對象，即對那個參數進行討論；第二，對所討論的對象進行合理分類，分類時做到不重復，不遺漏，標準要統一，分層不越級；第三，逐類討論，即對各類問題詳細討論，逐步解決；第四，歸納總結，將各類情況總結歸納.

顯然，明確分類討論的原因，將有利于運用分類討論的思想方法來解決問題.筆者經過長期的教學實踐將分類討論的主要原因初步歸類為以下五個方面：（1）由數學概念引起的分類討論；（2）由數學運算引起的分類討論；（3）由定理，公式的限制引起的分類討論；（4）由圖形的不確定性引起的分類討論.下面通過具體的實例說明分類討論在解題中的運用.

一、概念引起分類討論

有些數學概念本身就是以分類形式定義的，有些數學概念自身就有一定的限制，解題就是以所定義的概念為依據來進行分類討論，下面略舉幾種情況.

1.根據絕對值定義去掉絕對值符號時，分情況討論：

例1若|m-n|=n-m，且|m|=4，|n|=3，則（m+n）2=.

解析因為|m|=4，|n|=3，所以m=±4，n=±3.又因為|m-n|=n-m，所以n-m≥0，n≥m.當n=3時，m可能取的值為-4，結果為1；當n=-3時，m可能取值為-4，則結果為49，所以（m+n）2=49或1.

例2已知直線y=3x+b與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為6，則此直線解析式為.

解由題意得：點A坐標為（-b3，0），點B為（0，b）.

所以12OA·OB=6，

即12|-b3|·|b|=6，

所以|b2|=36，b=±6.

所以此直線解析式為y=3x-6或y=3x+6.

評注絕對值概念是一個需要分類討論的概念，只有通過分類討論后，得到的結論才是完整的、正確的，如不分類討論，就很容易出現錯誤.當遇到函數問題時，首先要考慮到應用數形結合思想，其次對絕對值問題要考慮到分類討論.

二、運算引起的分類討論

例3已知等腰三角形的一內角為70°，求其余兩個內角.

分析已知等腰三角形的一個內（外）角（未指明頂角還是底角的情況下），應分兩種情況進行討論.

解（1）當頂角為70°時；其余兩角為55°，55°；

（2）當底角為70°時，其余兩角為70°，40°；

所以該等腰三角形其余兩角為55°，55°或70°，40°.

例4若關于x的分式方程x-ax-1-3x=1無解，則a=.

簡解去分母得x（x-a）-3（x-1）=x（x-1），

整理得（a+2）x=3.

（1）當a+2=0，即a=-2時，新方程無解，那么原方程也一定無解.

（2）當a≠-2時，得x=3a+2.此解為原方程增根時，原方程也無解.

①當x=3a+2=0時，a值不存在；

②當x=3a+2=1時，得a=1.

綜上所述，當原方程無解時，a的值為-2或1.

應注意的是：一道題目是否需要討論，什么時候討論，并不是看題目中是否含有參數，而是看它是否影響繼續解題.有些題目一開始就要進行分類討論，有些題目則是在解題過程中進行討論，甚至可以回避討論.

三、定理、公式引起的分類討論

數學中的一些公式、方法對于一般情形是正確的，但對某些特殊情形或說較為隱蔽的“個別”情形未必成立.這也是造成分類討論的原因，因此在解題時，應注意挖掘這些個別情形進行分類討論.常見的個別情形有：

“方程ax2+bx+c=0有實數解”轉化為Δ=b2-4ac≥0時忽略了個別情形：當a=0時，方程有解不能用Δ≥0.因而二次項系數含字母時，常按字母系數是0和不是0兩種情況討論.

例5如果關于x的方程k2x2-（2k+1）x+1=0有實數根，那么k的取值范圍是

A.k>-14B.k>-14且k≠0

C.k<-14D.k≥-14且k≠0

評注由于x的方程沒有明確是一元二次方程，還是一元一次方程，這就需要分類討論，恰恰學生由于思維定勢，習慣上把它看作一元二次方程而致錯.

四、由圖形的不確定性引起的分類討論

如平面幾何中線與線、線與面、面與面的位置關系均有多種可能，研究各元素間的位置關系時，要注意每一個位置關系都不可遺漏，對于多種可能的情況必須分開來進行研究.

例6已知點P到⊙O的最大距離為8，最小距離為2，則⊙O的半徑為.

分析本題沒給出圖形，點P可能⊙O在外，也可能在⊙O內，所以必須進行分類討論.

如圖2點P在⊙O外，半徑為3，如圖3點P在⊙O內，半徑為5.

評注在沒有幾何圖形的題目中，要利用分類的思想方法，正確畫出各種可能的圖形，逐一進行詳細的解答.涉及點、線關系時，往往分和點在直線上和點在直線外兩種情況討論.

分類討論的過程是同中求異和異中求同兩種思維方式的有機結合，要抓住問題涉及對象的不同點，分為既不重復又不遺漏的幾類，分別討論，是同中求異的過程；然后將各類情況的共同特征加以綜合，得出結論，這是異中求同的過程.通過分類討論思想在初中數學中的應用，我們今后在解決數學問題時，當條件或結論不明確，當圖形不確定，當題目中含有參數或隱含條件等等都應分類討論.這種討論一方面可以將復雜的問題分成若干個簡單的問題（即“化整為零”），另一方面可避免漏解、誤解、錯解（即“各個擊破”），從而使復雜的問題得到清晰、完整、嚴密的解答.這不僅有利于提高學生對學好數學的興趣和解題技能，同時也是培養學生思維品質的條理性、縝密性、科學性的有效途徑.

課堂教學是實施素質教育的主陣地，常言道“授之以魚，不如授之以漁”.實踐證明，把某種數學思想方法（知識形態的）象知識一樣傳授給學生，再通過學生的思維過程來理解它，檢驗它，豐富它，運用它，發展形成為認識形態的觀念，直至上升為理性的哲學觀念，才能使學生受益終生.