初探《反比例函數(shù)》的有效性教學

鄭婷

在初中數(shù)學階段，學生必然要經(jīng)歷常量數(shù)學到變量數(shù)學的思維過程.函數(shù)還聯(lián)系了方程，不等式等一些相關(guān)知識，鍛煉了學生的數(shù)學化能力.在此，筆者通過分析蘇科版八年級（下）第十一章《反比例函數(shù)》的教材背景，結(jié)合教學實際談一談如何有效性設計反比例函數(shù)的教學過程.

一、蘇科版八年級（下）第十一章《反比例函數(shù)》的教學背景的分析

1.教材分析

本章內(nèi)容屬于《數(shù)學課程標準》中的“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，有了一次函數(shù)和平面直角坐標系的知識做鋪墊，反比例函數(shù)讓學生進一步認識并且理解函數(shù)的深刻內(nèi)涵，體會數(shù)學來源于生活又服務于生活.反比例函數(shù)也是最基本的函數(shù)之一，是以后學習其余函數(shù)的基礎(chǔ).

2.學情分析

函數(shù)知識對學生而言是抽象的，在八年級（上）學函數(shù)之前學生一直接觸的都是常量的知識.由常量學習變?yōu)樽兞繉W習時，學生的認知上會出現(xiàn)理解上的障礙.對于反比例函數(shù)而言，八年級學生是初次接觸雙曲線這種函數(shù)圖象，對函數(shù)的意義的理解、數(shù)量變化規(guī)律的把握還有一定的難度.當學生學完反比例函數(shù)的概念后，應該引導他們抓住反比例函數(shù)圖象的特征，讓學生對反比例函數(shù)有一個形象而又直觀的認識，進而深層次地理解反比例函數(shù).

二、《11.1反比例函數(shù)》教學設計

【教學目標】

1.使學生理解并掌握反比例函數(shù)的概念，能用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；

2.經(jīng)歷在實際問題中探索數(shù)量關(guān)系的過程，體會函數(shù)的建模思想；

3.提高學生學習數(shù)學的興趣，通過分組討論，培養(yǎng)學生合作意識和探索精神.

【教學重難點】理解反比例函數(shù)的概念，能根據(jù)已知條件寫出函數(shù)解析式.

【教學過程】

知識回顧：

師：在小學里，我們已經(jīng)知道如果兩個量的乘積一定，那么這兩個量成反比例.當路程s一定時，時間t與速度v成反比例關(guān)系.那成反比例的兩個量之間的關(guān)系，怎樣用函數(shù)表達式來描述呢？

【設計意圖】反比例函數(shù)所揭示的是兩個變量之間的反比例關(guān)系，所以從學生已有的小學反比例知識出發(fā)引入本節(jié)內(nèi)容，體現(xiàn)了小學與初中兩個學段的知識的銜接和密切聯(lián)系.

二、創(chuàng)設情境

一輛列車從南京出發(fā)開往上海，以速度v （km/h）行駛，行駛時間為t （h），行駛路程為s （km）.（1）若速度v=160 （km/h），行駛路程s （km）與行駛時間為t （h）之間的關(guān)系式為.（2）若列車已經(jīng)行駛了80 km，繼續(xù)以v=150 （km/h）的速度行駛t （h），行駛總路程s （km）與時間t （h）之間的關(guān)系式為.（3）若南京到上海總路程約301 km，行駛時間t （h）與行駛速度v （h）的關(guān)系式為.

生：分別列出三個關(guān)系式s=160t、 s=80+150t、 vt=301.

師：有我們熟悉的函數(shù)關(guān)系式嗎？

生：s=160t是正比例函數(shù)， s=80+150t是一次函數(shù).

師：請回憶一下什么是函數(shù)？

生：如果在一個變化過程中，有兩個變量，例如x和y，對于x的每一個值，y都有惟一的值與之對應，我們就說x是自變量，y是因變量，此時也稱y是x的函數(shù).

【設計意圖】反比例函數(shù)是繼正比例函數(shù)和一次函數(shù)后學生學習的一種新的函數(shù)關(guān)系，設置學生熟悉的生活情境有助于引導學生回顧反比例關(guān)系和函數(shù)的概念，為接下來要引入的反比例函數(shù)關(guān)系打下基礎(chǔ)，也符合學生的認知規(guī)律，初步激發(fā)了學生探索新知的興趣和欲望.

三、探索新知

活動一體驗新的函數(shù)

問題1根據(jù)情境中（3）的t與v的關(guān)系式，填寫表1：

表1v608090100120t（1）隨著速度的變化，全程所用時間怎么變化？（2）時間t是速度v的函數(shù)嗎？這是什么函數(shù)呢？

師：這個情境中在同一變化過程有兩個相互依存的變量是速度v和時間t，當v不斷變化時，都會產(chǎn)生唯一的一個t的值與它相對應，因此t是速度v的函數(shù).但是這樣的函數(shù)還沒有學過.

【設計意圖】通過設計這樣兩個問題給學生，激發(fā)了學生思考情境（3）中的關(guān)系式是否也是函數(shù)，構(gòu)建了函數(shù)意識，讓學生自主地聯(lián)系函數(shù)概念，自發(fā)地想要認識新的函數(shù).這也符合學生最近發(fā)展區(qū)的認知規(guī)律，可以最大限度地激發(fā)學生的學習興趣，提高學生思考問題的主動性和解決問題的能力，讓學生體會到生活處處皆數(shù)學，生活處處有函數(shù).

活動二歸納概念

問題2用函數(shù)表達式表示下列問題中兩個變量之間的關(guān)系.

（1）修建一條長為500 km的高速公路，完成該項目的天數(shù)y（天）隨日完成量x （km）的變化而變化；（2）一家銀行為某社會福利廠提供了20萬元的無息貸款，該廠的平均年還款額y（萬元）隨還款年限x（年）的變化而變化；（3）游泳池的容積為5000 m3，注滿水池所需時間t （h）隨注水速度v （m3/h）的變化而變化；（4）實數(shù)m與n的積為-200，m隨n的變化而變化.

問題3（1）請觀察這些表達式，它們有哪些共同的特點呢？（2）你能類比一次函數(shù)的定義，給反比例函數(shù)下個定義嗎？

生：xy=500，xy=20，vt=5000，mn=-200，從表達形式來看，有兩個變量一個常量，都是兩個變量的乘積形式，并且積為常量.

師：請回顧一下我們?nèi)绾味x一次函數(shù).

生：一般地，形如y=kx+b（k為常數(shù)，且k≠0）的函數(shù)叫做一次函數(shù)，其中x是自變量，y是x的函數(shù).當b=0時，y=kx（k為常數(shù)，且k≠0）稱為正比函數(shù).

師：你能類比一次函數(shù)的定義，給反比例函數(shù)下個定義嗎？

師生：一般地，形如y=kx （k為常數(shù)，且 k≠0）的函數(shù)叫做反比例函數(shù)，其中x是自變量，y 是x的函數(shù).

【設計意圖】通過問題2設置四個實際問題的求解過程，讓學生了解到生活中存在著豐富的具有反比例關(guān)系的事例，從而意識到學習反比函數(shù)有非常重要的現(xiàn)實意義.運用類比思維方式讓學生自己歸納定義，再一次使學生感受函數(shù)研究方法的一般性，使學生對反比例函數(shù)的表象認識上升到本質(zhì)的認識，從而深刻理解反比例函數(shù)的概念，為后續(xù)運用概念解決問題提供扎實的理論基礎(chǔ).在這一過程中學生可以通過觀察、比較、歸納等學習活動，形成結(jié)論.這是學生主動參與學習的過程，提高了學生的參與度，發(fā)揮了自由度，變被動學為主動學.

活動三反比例函數(shù)的三種表示方式

問題4反比例函數(shù)的表達式也可以寫成；反比例函數(shù)的自變量x的取值范圍是.

生：可以寫成乘積的形式，如xy=k（k為常數(shù)，且k≠0）.

師：我們學過負指數(shù)冪，1x=x-1，還可以寫成y=kx-1 （k為常數(shù)，且 k≠0），所以反比例函數(shù)有三種表達形式.

師：一次函數(shù)和正比例函數(shù)的自變量為任意實數(shù)，那反比例函數(shù)的自變量的取值是否有要求？

生：自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數(shù).

【設計意圖】從不同的問題情境中抽象出具有相同特征的數(shù)學模型，再抽象得出概念的過程，并非教師所強加，而是學生通過自己分析得出概念，突破難點，使學生的自豪感和成功感在活動中得以提升，體現(xiàn)類比、轉(zhuǎn)化、建模等數(shù)學思想，把本節(jié)課推向高潮.

四、運用新知，體驗成功

例1下列關(guān)系中y是x的反比例函數(shù)嗎？如果是，寫成y=kx的形式，并指出比例系數(shù)k的值.（1）xy+2=0；（2）y=-32x；（3）y=23x；（4）y=3x-1.

【設計意圖】通過辨析反比例函數(shù)，鞏固概念，可以讓大部分學生都體驗到成功的喜悅.幾種表達式的歸納轉(zhuǎn)化是對知識的提煉，便于學生熟練地掌握三種表達形式.

例2寫出下列問題中兩個變量之間的函數(shù)表達式，并判斷它們是否為反比例函數(shù).

（1）面積是50 cm2的矩形，一邊長y （cm）隨另一邊長x （cm）的變化而變化.

（2）體積是100 cm3的圓錐，高h （cm）隨底面面積S （cm2）的變化而變化.

（3）江蘇省的總面積為1.026×105 km2，人均占有土地面積S（km2/人）隨全省總?cè)丝趎（人）的變化而變化.

（4）媽媽買菜已經(jīng)用了25（元），還想買5元/斤的魚a斤，則總的花費y（元）隨著所購買的斤數(shù)a（斤）的變化而變化.

【設計意圖】讓學生進一步感受反比例函數(shù)是一類反映現(xiàn)實世界特定數(shù)量關(guān)系的數(shù)學模型.學生利用生活經(jīng)驗與剛剛形成的對反比例函數(shù)的認識，通過舉例、說理、交流達到內(nèi)化、升華、鞏固反比例函數(shù)的意義，感受反比例函數(shù)與一次函數(shù)、正比例函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系，理解反比例函數(shù)概念，滲透函數(shù)建模的數(shù)學思想.

例3已知y-3與x+2 成反比例， x=2時，y=7，求（1）y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）求y=5時，x的值.

【設計意圖】和函數(shù)表達式相關(guān)的內(nèi)容是利用待定系數(shù)法求出k的值，再根據(jù)求出的表達式，得出自變量或因變量的值.通過這樣的練習可以初步培養(yǎng)學生運用知識的能力.

五、練習鞏固

1.已知函數(shù)y=（a+1）x|a|-2是反比例函數(shù)，則a的值為.

2.若y與x成反比例，且x=-3時，y=7，則y與x的函數(shù)關(guān)系式是.

【設計意圖】初步培養(yǎng)學生綜合運用知識的能力，這些是具有彈性又能發(fā)展學生思維的題，可讓不同層次的學生學有所獲并使他們的能力得到提升.

六、課堂小結(jié)

通過本節(jié)課的學習，你最大的收獲是什么？你最大的疑惑是什么？

【設計意圖】在獨立思考和合作交流中引導學生梳理本節(jié)課在知識和數(shù)學思想方法方面的收獲，在總結(jié)的同時讓學生體驗收獲知識的快樂.

七、拓展延伸

回顧：一次函數(shù)是從哪幾個方面進行研究的？

類比：類比一次函數(shù)的研究，我們也將從這幾個方面對反比例函數(shù)進行研究.

猜想：以后研究函數(shù)基本從哪幾方面去研究？

【設計意圖】為后面反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)的研究埋下伏筆.

八、教學反思

1.注意做好與已學內(nèi)容的銜接

反比例函數(shù)的教學，一方面要以前面所學的函數(shù)概念及相關(guān)知識為基礎(chǔ)，另一方面可以反過來進一步深化對函數(shù)內(nèi)涵的理解和掌握.

學生對與函數(shù)相關(guān)的概念不可避免會有所遺忘或生疏.因此，學習好本節(jié)的關(guān)鍵是處理好新舊知識的聯(lián)系，盡可能地減少學生接受新知識的困難.在引進反比例函數(shù)概念時，要適時復習第6章中的函數(shù)、自變量、函數(shù)值、正比例函數(shù)、一次函數(shù)等相關(guān)知識，為反比例函數(shù)的學習做好鋪墊.這樣，學生就能夠比較順利地接受和掌握反比例函數(shù)的概念以及后續(xù)的性質(zhì).

2.從概念上加強反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的對比

兩種函數(shù)的解析式的相同點是：自變量只有一個；不同點是：自變量在解析式中的位置不同，正比例函數(shù)的解析式的右邊是一個整式，不為0的常數(shù)是自變量的系數(shù)，而反比例函數(shù)的解析式的右邊是一個分式，自變量處在分母的位置，不為0的常數(shù)處在分子的位置.教者應該注意鼓勵學生積極探究，盡可能激發(fā)學生的數(shù)學思維和興趣.那么相對而言，學生對所學內(nèi)容的掌握也就更牢固.

3.緊扣函數(shù)、數(shù)形結(jié)合等一些思想方法，深入理解函數(shù)的內(nèi)涵

對于一個具體的反比例函數(shù)來說，它有其自身的獨特性質(zhì)，其中蘊涵的變化與對應的數(shù)學思想是具有普遍性的.在教學時，尤其要注意在這種數(shù)學思想的滲透方面下功夫.

通過對圖象的研究和分析可以確定函數(shù)本身的性質(zhì)，這體現(xiàn)的是數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學中最重要的思想之一.而數(shù)形結(jié)合的思想早在學習數(shù)軸、平面直角坐標系時就已經(jīng)學習到了，學生并不陌生.結(jié)合本章內(nèi)容可以進一步對數(shù)形結(jié)合的思想方法順其自然地理解，并逐步加以靈活運用，發(fā)揮從數(shù)和形兩個方面共同分析解決問題的優(yōu)勢.