化歸思想在中學數學解題中的應用

劉燕囡

數學是研究數量、結構、變化、空間以及信息等概念的一門科學，在人類社會經濟發(fā)展中，數學發(fā)揮著不可替代的作用.中學數學的學習基礎會直接影響到代數、幾何、統(tǒng)計等更深層次的學習，因此，在中學數學教學中，要穩(wěn)扎穩(wěn)打，教會學生建立正確的數學學習思維，才能更好地學好數學.化歸思想就是一種行之有效的數學思維.

一、化歸思想的概念

化歸思想總的來說就是轉化和歸結，是將一個問題由繁復變簡單、由難變易、由抽象變直觀的過程.數學的學習也是從易到難，從簡單到復雜的過程.在面對一道數學題，已掌握的知識與方法都不能解題的時候，通過研究和分析數學問題之間的關系，將問題通過變換轉化，使之變成已知求解的過程，從而達到解題的一種方法.化歸思想既是一種解題思想，也是一種基本的思維策略，更是一種有效的數學思維方式.

二、化歸思想應遵循的原則

化歸思想在簡單的、具體的、基礎的知識上，把未知的、復雜的、抽象的知識轉化歸結到簡單的、基礎的、具體的問題來解決，其應遵循的原則有以下幾個方面.

1.簡單化原則

實際學習中，每個學生掌握的知識都是有限的，因此，在面對復雜的數學題時，應該利用簡單化的原則，把復雜多變的問題變換轉化成簡單的基礎問題，從簡單基本的問題找到突破口，以有限的知識為依據，找到解題的方向與捷徑，有效地進行數學解題.

2.直觀化原則

數學當中的抽象問題是阻擋學生學習數學熱情的因素之一.抽象的問題不好理解，也不容易理清它們之間的關系，因此，在解題過程中很容易迷失方向.針對這一問題，則可遵循直觀化原則，把抽象的問題轉化為具體的問題，或是用直觀化的方式去分析理解題目，找到問題的關聯(lián)點，進而由點及面地解析全題，這也不失為一種學習方法.

3.熟悉化原則

數學學習的一大難點就是未知.數學是一門科學，在學習過程中總會出現許許多多我們沒見過或是不熟悉的問題，這無形中就給學習數學帶來了莫大的挑戰(zhàn)，這時就可以利用熟悉化的原則，在問題當中尋找關聯(lián)、相似、簡單的知識點，對問題進行不斷地轉化，把未知，不熟悉的問題轉化成為已知、熟悉的問題去解題，使解題達到事半功倍的效果.

4.極端化原則

通過對數學問題中的極端情形或極端特性進行合理猜想與分析，求出特殊值，并依據特殊值的啟示與開發(fā)，尋求解決問題的方法，這一方法思路靈活，有效地提高解題效率，適當地使用這一原則，能拓寬數學學習的思維.

5.合諧化原則

在化歸過程中，在問題的轉化歸結時要注意條件與結論的形式要與數、式、形內部所表現的形式相合諧統(tǒng)一，這不僅有利于體現它們之間的本質聯(lián)系.更利于使其方便運用某種數學方式進行推演運算，也可以使得其運用的方法更符合人們的解題思路.

三、化歸思想的幾種解題方法

1.配方法

配方法是一種式子變形方法，在中學數學中占有重要地位.在中學數學中，配方法除了在方程式中有應用外，還廣泛應用在代數求值、因式分解、二次根式簡化、恒等式證明等方面，因此，運用數學化歸思想，可以在數學解答的過程中，適當地將代數式進行配方，可以快速地解答數學題.

例1已知a2+b2+2a-4b+5=0，求2a2+4b-3的值.

根據題目平方式分析，題目可用配方法來求解，由a2+b2+2a-4b+5=0得（a2+2a+1）+（b2-4b+4）=0，即（a+1）2+（b-2）2=0.根據非負數的性質得a+1=0，b-2=0，解得a=-1，b=2.所以原式=2a+4b-3=2×（-1）2+4×2-3=7.配方法是恒等式變形的方式，是研究相等關系和不等關系的重要技巧，因此，在數學解題過程中，要適當地運用配方法化歸數學題，提高解題技巧.

2.整體代入法

在數學解題思路中常用的化歸方法是整體代入法.這是對題目整體進行結構的分析和改變，把題目中某些式子或某部分看做一個整體，依據它們之間的關聯(lián)，進行有意識的整合變形，達到解題的目的.

例2已知3x=a，3y=b，求3x+y的值.

解由同底數冪公式可將題目變形為3x×3y，并將已知條件看做一個整體然后代入3x+y中運算，解得答案是ab.根據題意，已知條件給出的不是具體數值，也無法求出具體數值，按照常規(guī)的解題思路是無法求解的，這個時候適當地使用整體代入法，先對題目先變形，然后將題目給出的條件整體代入求解.

3.化簡代入法

當一道數學題太過復雜，容易讓人混淆題意，或是無法理清思路而導致解題失敗，針對這一情況，可先運用所學分析題目，由難化易來解題.以例2為例，直接求x，y不容易，直接將已知條件代入也不能求解，因此，根據化歸思想簡單化原則，可先對式子變形化簡，再將已知條件代入所求式中計算才能解出答案.

4.特殊值求法

在數學解題過程中，有很多題目是不能用常規(guī)的方法來直接解題的.這時可以分析題目中提供的信息，選擇題目中比較特殊或是典型的情況為突破口，算出特殊值或是將數據公式代入，把普通形式變成特殊形式，再進一步解題.數學是一門廣泛的學科，其內在聯(lián)系錯綜復雜，往往是一般中含有特殊化，特殊化中又有普遍性，因此，在數學的學習當中應當注意其相互關聯(lián)系的特性，并通過對其深入的分析與研究來形成一種良好的解題思路.

例3已知a，b，c是△ABC的三條邊，則a2+b2-c2-2ab的值是正數還是負數？

這道題沒有具體的參數，如果用常規(guī)的解法解題比較困難，這時，巧妙地用特殊值求法，則可以快速解題，根據題意可假設a=2，b=3，c=4，代入到題中最后算出是負數.

5.直接轉化法

在數學解題中，還可以通過直接轉化法將比較抽象的題目轉換成直觀的數字、圖形來解題，也可以把不熟悉或是新的知識轉換成已熟悉的舊知識來解題.如例3，只知道a，b，c三條邊，沒有具體數值，題目就會非常的抽象，在解題過程中直接將三條邊假設三個具體數值，將抽象的題目轉化成直接的數字，然后代入計算就可解題.

數學反映生活，應用于生活，世間萬物都是相互聯(lián)系，相互制約的，而數學之間的關系也是如此，因此，數學解題中的化歸思想才會幾乎無處不在.現今的數學教學的目的是要將所學數學知識應用到社會生活與經濟發(fā)展中，因此，在平時的數學教學中，要注重在知識形成過程中、在探索解題過程中、在解答問題中都要及時有效地引導和培養(yǎng)學生歸化方式的解題思維，有利于學生更好地學習數學，并有效提高學生對知識的運用.