多重分形譜主要系數在股票預測問題中的研究

郝冰　陳付彬　禹旺勛

摘要： 本文根據分形理論及多重分形原理，利用解析的方法對離散數據的多重分形譜的主要參數—奇異標度指數？琢及奇異譜函數f（？琢）進行了計算；并把該方法用于研究上證大盤A股綜合指數以及其他多只個股股價的5分鐘高頻時間序列，根據大量實驗結果分析，提出了可以依據股票股價最近時間段的多重分形譜主要參數變化情況來預測股票股價短期走勢的初步結論，為股票預測分析提供了一定的參考依據。

Abstract： Based on the fractal theory and multi-fractaltheory， this paper uses analytical methods to calculatethe main parameters ？琢 anomalousscaling exponent andsingular spectrum function f（？琢） of thediscretedata multifractal spectrum， and uses this method to study evidence tape Ashares comprehensive index and 5 minutes high frequency time series of otherstock price.Accordingto a large number of experimental results， it is put forward that the short-termmovements of stock price can be predicted by the multi-fractal spectrum of themain parameters of the stock price changes in recent period， so as to provide thereference for the stock prediction.

關鍵詞： 多重分形譜；解析；高頻時間序列；預測

Key words： multifractal spectrum；analysis；high-frequency time series；forecast

中圖分類號：F832.5 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2016）08-0056-03

0 引言

股票市場的變化莫測性，是無法通過簡單圖像所能描繪的。現代科學不斷進步，分形理論走進了人們的視野，它能夠非常細致的描述股票市場所呈現出來的非線性行為特征，是研究股票市場的一個新契機和方法，它能更多的解決有效市場理論無法解決的問題，已經成為金融研究領域中的熱點問題。需要注意的是簡單的分形雖然可以一定程度上描述中國股票市場的非線性特征，但是無法全面真實的描述股票市場的情況，多重分形就是在這種情況下應運而生的，它是分形理論的新發展。多重分形可以將金融市場中復雜多變的金融交易復現，獲取不同時間標度上金融資產價格的不同波動信息，提供關于市場動向的概率估計值，顯示市場易變性的實質，進而幫助人們更加了解金融市場。

歸根結底，采用多重分形方法可以將復雜體系分成許多奇異程度不同的區域來研究，從而使我們能分層地了解復雜系統的內部結構和所富含的信息。

因此，通過對股票數據進行多重分形分析，可以發現金融數據漲跌和多重分形相關參數指標變化之間的關系，從而總結歸納出一定的規律，用于反映和預測未來股票市場的動蕩變化。

1 多重分形的研究方法及主要參數的解析求法

分形維是分形理論中的核心思想，同時也是其很重要的特征[1]。多重分形的一個重要分析指標就是奇異性標度指數？琢和奇異譜函數f（？琢），多重分形就是定義在分形結構上的由有限幾種或大量具有奇異性標度指數？琢的概率的子集構成的非均勻分形維分布的奇異集合。

本文采用盒計數法[2] 計算高頻時間序列的多重分形譜，即把取樣區間內高頻金融時間序列當作一維平面上的點集，采用尺度為 （？著？燮1）的“盒子”對其進行覆蓋，即按不同的單位時間標度？著將其劃分成互不重疊的區間。設高頻金融時間序列每日交易數據的個數為t，每個單元連續考察個n交易日，則每個單元共有nt個數據。因此？著可取為1/nt，2/nt，……，1/3，1/2，1。

2.2 實際股票數據的多重分形譜主要參數分析

本文隨機選取了上證大盤A股綜合指數2007年7月9日-8月22日之間的5分鐘高頻數據（數據來自軟件大智慧V5.55，獲取方式是每天從9：35分至15：00分，扣除休息時間每天計48個數據[5]），共計1440個有效數據，然后依照時間順序每240個數據為一個單元組，共將其分成六組，具體每個單元組時間段為7月9日-7月13日、7月16日-7月20日、7月23日-27日、7月30日-8月8日、8月9日-8月15日、8月16日-8月22日，按上述方法得到這六個單元組的多重分形譜主要參數表（表1）及主要多重分形譜圖（圖1）；同時結合圖2來分析上述這段時間內日收盤指數與單元組的多重分形譜主要參數變化之間的關系。

首先我們應認真觀察表1，計算第一單元組和第二單元組的所對應的？琢min和？琢max的變化幅度，即？駐？琢min和？駐？琢max的具體值，可以得到這兩個單元組對應的變化值的絕對值分別為？駐？琢min=0.003695和？駐？琢max=0.002504，前者大于后者，即高指數上升的速度高于低指數下降的速度，說明這兩個單元組時間段內高指數變化比較明顯，其應占主要地位，再加上第二單元組中的？駐f<0，說明這段時間內指數多聚集在谷底，且第一單元組的多重分形譜遠小于第二單元組的，對應的第三單元組時間段內的對應的實際日收盤指數呈現上漲并有局部下挫的情況；我們接著分析第二單元組和第三單元組之間的？琢min和？琢max的變化幅度，得到它們的值依次為：？駐？琢min=0.002064和？駐？琢max=0.000061，前者也大于后者，說明這兩個單元組時間段內高指數變化比較明顯，其應占主要地位，再加上第三單元組中的？駐f>0，說明這段時間內指數多聚集在波峰，且第三單元組的多重分形譜遠小于第二單元組的，多重分形譜開口遠遠大于，對應的第四單元組時間段內的對應的實際日收盤指數呈現上漲并有個別下挫的情況；再繼續分析第三單元組和第四單元組之間的？琢min和？琢max的變化幅度，得到它們的值依次為：？駐？琢min=0.001519和？駐？琢max=0.001535，后者大于前者，說明這兩個單元組時間段內低指數變化比較明顯，其應占主要地位，再加上第三單元組中的？駐f>0，說明這段時間內指數多聚集在波峰，且第三單元組的多重分形譜開口遠小于第四單元組的，對應的第五單元組時間段內的對應的實際日收盤指數呈現平緩上漲并有局部下挫的情況；再繼續第四單元組和第五單元組之間的？琢min和？琢max的變化幅度，得到它們的值依次為：？駐？琢min=0.001704和？駐？琢max=0.002772，后者大于前者，說明這兩個單元組時間內低指數變化比較明顯，其應占主要地位，再加上第五單元組中的？駐f>0，說明這段時間內指數多聚集在波峰，且第五單元組的多重分形譜開口遠小于第四單元組的，對應的第六單元組時間段內的對應的實際日收盤指數呈現先期下跌并伴有后期上揚的情況；最后我們根據第五單元組和第六單元組之間的？琢min和？琢max的變化幅度，得到它們的值依次為：？駐？琢min=0.001680和？駐？琢max=0.003001，后者大于前者，表明在這兩個單元組時間內指數變化中比較明顯的是低指數，其應占主要地位，再加上第六單元組中的？駐f>0，說明這段時間內指數多聚集在波峰，且第五單元組的多重分形譜開口要遠小于第六單元組，由此我們可以推測出在第六單元組時間段之后的短時間內指數應該繼續上漲但也有局部下挫的情況，對應的實際日收盤指數確實反映了這一情況，也說明了我們推測的正確性。

類似于上述對上證大盤A股及澳柯瑪股票的多重分形譜參數的分析，我們繼續分析了澳柯瑪股票（2007年8月3日-8月30日）南航JTP1（2007年8月23日-9月19日）、長江通信（2007年8月2日-8月30日）、國風塑業（2007年8月2日-8月30日）、美羅藥業（2007年8月21日-9月19日）等其他隨機抽取的股票的多重分形譜參數變化情況與實際股價之間的關系。

2.3 預測驗證情況

根據這個基本結論，我們試著分析了2008年6月23日-7月18日的上證大盤A股指數的5分鐘高頻數據，得到了這段時間內共計960個的有效數據，按時間順序分成了4個單元組（6月23日-6月27日，6月30日-7月4日，7月7日-7月11日，7月14日-7月18日），得到了類似上面的多重分形譜主要參數表（表3）。

按照上面的預測結論表，我們很容易根據結論分析第一、二單元組的參數變化情況預測第三單元組時間段內指數應該呈現上漲且有大幅上揚趨勢，實際情況也真實反映了這一預測情況；而根據第二、三單元組的參數變化情況預測第四單元組時間段內指數應該呈現下跌且有小幅上揚趨勢，實際情況也真實反映了這一情況；再根據第三、四單元組的參數變化情況預測第四單元組時間段后指數應該呈現平緩且有小幅下挫趨勢，實際情況也真實反映了這一情況。

我們試著檢驗了隨機的幾只個股（這里就不一一列出了），預測情況與真實情況基本吻合，也體現了預測結論的一般有效性。但是針對這個結論的真實準確性，我們還需要進一步驗證，希望能夠進一步完善這個結論。

3 小結

通過對上證大盤A股綜合指數5分鐘高頻數據的多重分形譜研究，以及多只個股股價的5分鐘高頻數據的多重分形譜研究，并根據大量實驗結果分析，提出了可以依據股票股價最近時間段的多重分形譜形狀及參數變化情況來預測股票股價短期走勢的初步結論，這個結論難免會有統計失真，還需要進一步檢驗，但是仍然具有一定的參考價值。

參考文獻：

[1]李彤.多重分形原理及其若干應用[D].北京交通大學，2008.

[2]笪婷婷.降趨交互相關性分析的多重分形拓展及其金融市場應用[D].中國科學技術大學，2015.

[3]I. Antonios，，L. Lipsky.On the relationship between packet size and router performance for heavy-tailed traffic. Third IEEE International Symposium on Network Computing and Applications. 2004.

[4]韓彥.中國境內外股市間的多重分形交叉相關性研究[D]. 南京信息工程大學，2015.

[5]Ioannis Andreadis，Apostolos Serletis.Evidence of a random multifractal turbulent structure in the Dow Jones Industrial Average. Chaos Solitons Fractals. 2002.