FIR濾波器在音頻系統優化中的基本應用

Hadi Sumoro　于弦

[摘要]介紹IIR和FIR兩種濾波器及其相位響應，重點分析FIR濾波器的特性、處理延時、窗函數處理，以及FIR濾波器在音頻系統優化中的基本應用。

[關鍵詞]濾波器；無限脈沖響應；有限脈沖響應；音頻系統；頻率響應；相位響應；處理延時

文章編號：10.3969/j.issn.1674-8239.2016.08.010

1 濾波器簡介

無論是為了補償揚聲器響應的非線性，還是為了改變房間的聲學效果，以均衡形式出現的電子校正手段是針對揚聲器進行補償和校正最為有效的工具之一。常用的音頻濾波器有兩種：IIR和FIR。IIR是無限脈沖響應（Infinite Impulse Response）的縮寫，FIR是有限脈沖響應（FiniteImpulse Response）的縮寫。這兩種濾波器各有優缺點。筆者將對相關術語進行解釋，并介紹FIR濾波器在音頻系統優化當中的若干基本應用，希望廣大音頻領域從業者能夠從中獲得有用的信息。

IIR濾波器是基于無源模擬濾波器的理念來設計的，這種濾波器具有最小相位（Minimum Phase）的特點。圖1所展示的是一個揚聲器中常見的無源分頻設計。IIR濾波器通常被用于模擬無源設計以及數字信號處理器當中。一些與IIR相關（其中也與FIR相關）的術語包括：模擬無源分頻、最小相位濾波器、模擬圖示/參量均衡。而FIR濾波器則通常出現在數字領域當中。

2 相位響應

IIR濾波器具有最小相位特性，將它的頻率響應做希伯特變換（HilbertTransform）可以計算出相位響應，反之亦然。在IIR當中，頻率響應的改變會導致相位響應的改變。最小相位響應指的是在一定幅度響應條件下可能產生的最小相移。

圖2所示的數字IIR濾波器包含了一個截止頻率為60Hz，斜率為12dB/oct的巴特沃茲高通濾波器；一個截止頻率為12500Hz，斜率為12dB/oct的巴特沃茲低通濾波器；并且在300Hz以1/3oct寬度衰減3dB，在3000Hz以1/3oct寬度提升3dB。圖2為Filter Hose軟件的截屏。

從圖2中可以觀察到傳遞函數（圖3-a）和濾波器的脈沖響應（圖3-b）。

圖3-a顯示了IIR濾波器的頻率響應（紅色曲線）和相位響應（綠色曲線）。基于前文的討論，相位會隨著幅度的改變而改變，相位響應的走向是其自身特有的，用戶不可以對其進行單獨的調節控制。圖3-b顯示了濾波器的脈沖響應，其峰值非常接近于0ms。通常由具有最小相位特征的IIR濾波器所引入的處理延時是非常小的（并不是所有IIR濾波器都是最小相位，全通濾波器就是非最小相位濾波器）。

通過FIR濾波器可以獲取一個與圖3幅度響應相似的傳遞函數。圖4是一個采樣率為48kHz，階數為1024的FIR濾波器。雖然FIR濾波器可以被設計為最小相位特性，但它強大的功能體現在能夠分別控制頻率和相位響應。這種濾波器通常也被稱為線性相位FIR濾波器。

圖4-a顯示了濾波器的脈沖響應。如圖脈沖峰值位于10.65ms，由此可以判斷由濾波器產生的處理延時。換句話說，濾波器的輸出將會獲得一個10.65ms的額外延時，這對于現場舞臺返送或者分期錄音來說太長，但對于母帶處理或者不含視頻內容的音樂欣賞來說則是可以接受的。

圖4-b顯示了該FIR濾波器的傳遞函數，該圖通過對脈沖響應做周期性移動去除了處理延時，使得圖像的相位響應易于觀察和對比。可以看到相位響應在0度保持平直（濾波器沒有造成任何相位偏移），而頻率響應則與圖3-a相似。

3 數字FIR濾波器的特性

在數字音頻領域，采樣率（f_s）是用戶需要認識的最為重要的限制條件。FIR濾波器的性能取決于硬件或軟件的采樣率。人們無法在改變濾波器采樣率的前提下獲得同樣的效果。

根據名稱可以知道，一個FIR濾波器具有有限（響應）長度，即一定的階數。FIR的脈沖響應是一個數組，而FIR的階數則是這個數組的長度。更高的階數意味著更高的頻率精度，進而意味著更窄的濾波器和/或更加陡峭的滾降。然而，階數往往受限于硬件的內存量和計算能力。

用采樣率除以階數，可以計算出濾波器的頻率精度。在圖4所示的例子當中，FIR濾波器采樣率為48kHz，階數為1024。因此其頻率精度為46.875Hz。針對此數據做快速估算，可以將頻率精度乘以3，以此得到濾波器可以作用的頻率下限。46.875Hz×3≈141Hz，這意味著具有48kHz采樣率、1024階數的FIR濾波器將會對141Hz以上的頻率有效。這僅僅是基于采樣率和階數的粗算，其他計算參數的引入或者對濾波器的修改將會極大地改變最終的結果。

為了在低頻區域（低于200Hz）獲得一個陡峭的高通濾波器，需要一個很高的階數，這在實際應用當中是不容易實現的。因此，通常使用一個IIR的高通濾波器作為FIR濾波器的補充。

4 濾波器的處理延時

另一個重要的因素是對濾波器進行編輯。圖4中顯示的FIR濾波器具有10.65ms的處理延時。當濾波器脈沖響應經過周期性移動，并且施加合適的窗函數后，所獲得的濾波器的傳遞函數可能發生改變。請看圖5（6ms處理延時）、圖6（3ms處理延時），并將它們和圖4（10ms處理延時）進行對比。圖4、圖5、圖6當中的相位響應曲線都通過周期性移動將脈沖響應的峰值對齊在0ms，以便于觀察和對比相位響應。

可以觀察到低頻滾降是如何改變的，以及低頻區域的相位響應并不如高頻區域的相位響應平直。總的來說，如果允許較長處理延時的存在，FIR濾波器可以對100Hz以下的頻率進行有效的修正。此外，還有一個關于三分頻號筒負載揚聲器測試的例子。揚聲器的傳遞函數如圖7所示。

分別使用兩個由不同處理延時生成的FIR濾波器（采樣率48kHz，階數Ⅳ=2048，頻率精度23.3Hz），僅對揚聲器的相位響應做線性修正，不影響其頻率響應。圖8和圖9分別顯示了這兩個濾波器的傳遞函數（a圖）和修正后的輸出情況（b圖）。

圖8所使用的濾波器具有30ms的處理延時。該濾波器的頻率響應除了在45Hz附近有所衰減之外，其余幾乎都是平直的。這種設置能夠很好地對揚聲器系統的相位響應做線性化處理。但是如果將處理延時縮短至10ms，那么得到的結果則會十分不同。

圖9-a顯示的是具有10ms處理延時的FIR濾波器的傳遞函數。可以看到它的頻率響應在80Hz處開始下降。從圖9-b所顯示的揚聲器經過處理后的結果可以看出，該FIR成功地將相位響應修正得十分平坦，但低頻響應卻無法保持圖7中原始響應所具有的下限。5施加窗函數

從名稱就可以知道，FIR具有一個有限長度的脈沖響應。而在制作FIR的過程當中，使用者需要定義這個脈沖響應截止于何處。FIR對于特定頻率響應的控制并不擅長（尤其是低頻），因為需要縮短FIR濾波器的脈沖（因此它被稱為“有限”）。這種縮短脈沖響應的操作被稱為“窗函數”。

通常FIR濾波器的計算基于理想濾波器來進行，在此基礎上再被縮短。以下舉一些關于窗函數處理的例子。

圖10顯示的是被稱為矩形窗的窗函數。它對矩形（窗）內所有數值做等量加權，并在濾波器的末端做突然截止。這種方法會導致信號振蕩或對FIR濾波器處理范圍之外的聲音帶來染色。矩形窗適用于某些特定場合，但通過形狀較為平緩的錐形窗使得濾波器脈沖響應的邊緣變得更加平緩則是更具普遍性的做法。圖11所顯示的是Hann窗函數。這個窗函數不僅根據需要的長度截掉了脈沖響應的尾巴，還對濾波器的末端進行了錐形化的平緩處理。系數值在尾巴的末端變為0。處理延時和窗函數的設置和編輯處理對于FIR濾波器的最終結果十分重要。

6 基于測量制作FIR濾波器

隨著具有FIR功能的DSP愈發廣泛的使用，制作一個反轉傳遞函數，或者只反轉頻率響應，或者只反轉相位響應的FIR濾波器變得越來越普遍。包括Filter Hose在內的一些軟件可以幫助使用者定義FIR濾波器，它們基于測量數據來制作一個合成濾波器或者用戶自定義濾波器（后者通常用于揚聲器分頻網絡或針對某個特定的目標曲線，本文對此不做討論）。

根據測量的數據來制作FIR濾波器，其頻響是測量數據的反轉，經過卷積后可以獲得平直的響應曲線。以這個為目的的應用有以下幾種。

（1）為單一測量點制作反轉FIR

對于單一聽音點（例如錄音棚當中），可以在“甜點”上做單次測量，以該點測量結果制作相應反轉傳遞函數的FIR濾波器。這對于緩解房間聲學影響、修正揚聲器非線性有著很好的作用。這種濾波器的系數是個很長的數組，但它只針對空間當中具體的一點進行修正。

（2）使功率響應更加平坦

通過在不同聽音者位置測量頻率響應，可以通過對頻率響應做平均處理來得到大致的功率響應。這種測量應針對每只揚聲器單獨進行，并且在測量點多于3個時，對頻率響應做平均才會得到好的結果。做平均只針對振幅響應，而不針對相位響應。這種測量可以只用RTA（實時測量分析）來進行。這也是補償房間共振特性的有效方法，常用于家庭影院、聽音室或公共場合的音頻系統優化。

（3）揚聲器校正

為了實現對揚聲器的正確校正，測量需要在一個受控的聲學環境下進行。這里的“受控”指的是進入測量系統的反射聲需要得到控制。進行揚聲器測量最簡單有效的方法是在適宜的天氣環境下，在室外或很大的房間內做地面測量。通過將揚聲器和測試傳聲器放置在光滑的反射地面上，可以得到一個很好的測量數據，避免來自地面反射聲的破壞性干涉。當使用FIR濾波器對揚聲器的相位響應做線性處理時，最好使用在受控環境中得到的測量結果。

（4）綜合用途

測量揚聲器并且制作FIR濾波器有很多可能性。可以通過室外地面測量的方式對揚聲器進行校準，制作一個FIR濾波器對揚聲器的近場響應做線性化處理。然后再將揚聲器放在特定房間當中，通過多點測量來獲得一個功率響應或者房間共振補償。這兩個濾波器可以被卷積或合并。與IIR濾波器的合并相同，具有不同功能的FIR濾波器也可以進行合并。

FIR濾波器的獲得方式與IIR有很大的不同。它們都具有一定的優點和缺點，最終得到的效果則取決于濾波器制作者的意圖。從本文可以看出，FIR濾波器為音頻領域從業者提供了又一個有效的工具。

在此，謹感謝Pat Brown和John Loufik對該領域的深入見解，以及在文章發表前的審閱工作。

（編輯 王芳）