例談數學思想和方法在解題中的滲透オ

陳錦鋼

所謂數學思想就是指對數學本質和規律的認識，也是我們解決數學問題的核心手段數學思想是解題的靈魂，數學方法則是解題的利器，這兩種相互滲透、相互聯系，密不可分數學方法在量的積累后，會產生質的變化，即是數學思想的形成通過數學思想方法的教學，可以在數學知識與解題中架設橋梁，對學生知識積累、能力提升和綜合素養產生影響本文將從實際問題出發，探究如何實現數學思想方法在教學中的滲透

一、在解題中滲透化歸思想

化歸思想是指在解決數學問題時，聯系新舊知識，將欲解決的陌生問題向學生們所熟悉的方面進行轉化，借助幾何圖形、數學公式，實現化繁為簡、化難為易化歸思想在解決幾何圖形問題、代數證明題、分式轉化題中都有著顯著的優勢在化歸思想的使用中，常常會涉及待定系數法、配方法、轉化法等通過此類數學思想的教學，可以幫助學生掌握多種數學方法，對提高學生解題效率幫助明顯

例1如圖1所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，對角線AC、BD相交于點O，且AC⊥BD，AD=3，BC=5，試求AC的長

解析首先，從題中所給條件來看，要想直接求出AC的長度似乎是不可能的對此，我們必須利用化歸思想進行轉化，將我們未知的邊長向已知邊長進行轉化要想將AC邊與已知邊聯系起來，我們繪制出了如圖虛線所示的輔助圖形繪制過程如下：過D點作DE⊥BD，并交BC的延長線于點E，得到AD=CE、AC=DE然后，由題中已知條件AC⊥BD，則可知BD⊥DE再由AB=CD，我們可以得到AC=BD，再結合AC=DE，最終得到BD=DE在直角三角形BDE中，BE2=BD2+DE2，可以求得BD=[KF（]2[KF）]2BE=4[KF（]2[KF）]最后利用BD=AC，我們可以求出AC的長度為在本題中，我們利用梯形對角線互相垂直的特點，通過將對角線進行平移，將等腰梯形轉化成平行四邊形和直角三角形如此一來，我們在化歸思想的指導下，利用幾何圖形的轉化實現了本題的求解

二、在解題中滲透數形結合思想

在中學數學教學中，數形結合思想是聯系代數與幾何的橋梁，代數即是數，幾何即是形從表面上來看，這兩者似乎是分隔的，但在數形結合思想的幫助下，數量關系和幾何圖形可以進行相互轉化通過數形結合思想的教學，學生們得以將抽象的圖形問題代數化，也能將復雜的代數問題圖形化在數學解題中，數形結合思想可以拓寬學生思維，有利于提高學生分析問題和解決問題的能力

例2如圖2所示，C為線段BD上的一動點，分別過點B、D作AB⊥BD、ED⊥BD，連接AC、EC已知AB=5，DE=1，BD=8，設CD=x

（1）試用含x的代數式表示AC+CE的長；

（2）試問點C滿足什么條件時，AC+CE的值最小；

（3）根據（2）中的規律和結論，請構圖求出代數式的最小值

解析對于第一問，我們直接利用勾股定理便可以求得，即是將幾何圖形轉化成代數表達，可得對于第二問，要使AC+CE的值最小，也就相當于要求出第一問中的代數表達式的最小值此時，很多學生會直接利用第一問中得到的代數表達式進行求解但中學生受到自身知識的局限性，他們往往難以直接求出此時，我們不妨引導學生利用數形結合的知識進行求解對此，教師要求學生對該幾何圖形進行觀察，要求他們對AC+CE的長度表達進行探究觀察后，我們不難發現本題的考點就是求兩點之間的最短距離，結合“兩點之間直線距離最短”的定理，我們很容易得到當C點位于BD和AE交點處時，AC+CE即可取得最小值對于第三問，我們不妨在第二問的猜想上繪制輔助線，如圖3所示那么，代數式的值即相當于線段AE的長度于是，在直角三角形AEF中，AF=AB+DE=6、EF=BD=8，利用勾股定理可得AE=10在本題中，我們利用數形結合思想，通過對代數問題與幾何知識之間的反復轉化，實現了對本題求解過程的簡化，最終順利求解出正確答案

三、在解題中滲透建模思想

數學建模是解決實際問題的有效手段，通過數學模型的建立，我們可以幫助學生將課堂知識與實際問題相聯系，實現中學數學知識的應用化和實踐化數學建模思想是指從問題的關系量分析入手，通過抽象和假設的方法，對實際問題建立對應的解題模型通過數學建模思想的教學，我們可以拉近課堂與學生生活的距離，幫助學生認識到數學知識的重要性，從而激發學生的數學學習興趣

例3某水果批發市商銷售每箱進價為40元的蘋果，物價部門規定每箱售價不得高于55元市場調查發現，若每箱以50元的價格銷售，平均每天銷售90箱，價格每提高1元，平均每天少銷售3箱

（1）求平均每天銷售量y箱與銷售單價x元之間的關系；

（2）求該銷售商平均每天的銷售利潤W元與銷售價x元之間的關系；

（3）當每箱蘋果售價多少元時，可以獲得最大利潤，最大利潤是多少？

解析本題屬于實際數學應用題，對學生的審題能力和函數知識提出了較高的要求，對學生的數學建模能力進行考查首先，對于第一問，我們從題中已知信息可得每天銷售量與單價之間的關系，即是y=90-3（x-50）=-3x+240第二問同樣如此，只是較第一問相對復雜一點而已，基本思路還是一樣的每天利潤W=（x-40）（-3x+240）=-3x2+360x-9600此時，要求每日銷售利潤的最大值就是相當于求解該二次函數模型的最值利用二次函數知識，我們可以迅速地求出當售價為55元時，平均每日銷售利潤可以達到最大值1125元在新課改背景下，中考數學對學生們實際問題的應用考查越發的注重數學建模思想作為解決實際問題的重要途徑，我們必須在日常的教學中進一步加以強化和重視

總之，數學思想方法是中學數學教學的核心在平時的數學教學中，我們不僅需要把握好以上的幾類數學思想教學，更要不斷探究，為學生們創設出更多有效的數學思想方法教學模式