初探蘇科版八（下）《111反比例函數(shù)》的有效性教學オ

鄭婷

在初中數(shù)學階段，學生必然要經(jīng)歷常量數(shù)學到變量數(shù)學的思維過程函數(shù)還聯(lián)系了方程，不等式等一些相關知識，鍛煉了學生的數(shù)學化能力在此，筆者通過分析蘇科版八年級（下）第十一章《反比例函數(shù)》的教材背景，結合教學實際談一談如何有效性設計反比例函數(shù)的教學過程

一、蘇科版八年級（下）第十一章《反比例函數(shù)》的教學背景的分析

1教材分析

本章內容屬于《數(shù)學課程標準》中的“數(shù)與代數(shù)”領域，有了一次函數(shù)和平面直角坐標系的知識做鋪墊，反比例函數(shù)讓學生進一步認識并且理解函數(shù)的深刻內涵，體會數(shù)學來源于生活又服務于生活反比例函數(shù)也是最基本的函數(shù)之一，是以后學習其余函數(shù)的基礎

2學情分析

函數(shù)知識對學生而言是抽象的，在八年級（上）學函數(shù)之前學生一直接觸的都是常量的知識由常量學習變?yōu)樽兞繉W習時，學生的認知上會出現(xiàn)理解上的障礙對于反比例函數(shù)而言，八年級學生是初次接觸雙曲線這種函數(shù)圖像，對函數(shù)的意義的理解、數(shù)量變化規(guī)律的把握還有一定的難度當學生學完反比例函數(shù)的概念后，應該引導他們抓住反比例函數(shù)圖像的特征，讓學生對反比例函數(shù)有一個形象而又直觀的認識，進而深層次地理解反比例函數(shù)

二、《111反比例函數(shù)》教學設計

【教學目標】

1使學生理解并掌握反比例函數(shù)的概念，能用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；

2經(jīng)歷在實際問題中探索數(shù)量關系的過程，體會函數(shù)的建模思想；

3提高學生學習數(shù)學的興趣，通過分組討論，培養(yǎng)學生合作意識和探索精神

【教學重難點】理解反比例函數(shù)的概念，能根據(jù)已知條件寫出函數(shù)解析式

【教學過程】

知識回顧：

師：在小學里，我們已經(jīng)知道如果兩個量的乘積一定，那么這兩個量成反比例當路程s一定時，時間t與速度v成反比例關系那成反比例的兩個量之間的關系，怎樣用函數(shù)表達式來描述呢？

【設計意圖】反比例函數(shù)所揭示的是兩個變量之間的反比例關系，所以從學生已有的小學反比例知識出發(fā)引入本節(jié)內容，體現(xiàn)了小學與初中兩個學段的知識的銜接和密切聯(lián)系

二、創(chuàng)設情境

一輛列車從南京出發(fā)開往上海，以速度v （km/h）行駛，行駛時間為t （h），行駛路程為s （km）（1）若速度v=160 （km/h），行駛路程s （km）與行駛時間為t （h）之間的關系式為（2）若列車已經(jīng)行駛了80 km，繼續(xù)以v=150 （km/h）的速度行駛t （h），行駛總路程s （km）與時間t （h）之間的關系式為（3）若南京到上海總路程約301 km，行駛時間t （h）與行駛速度v （h）的關系式為

生：分別列出三個關系式s=160t、 s=80+150t、 vt=301

師：有我們熟悉的函數(shù)關系式嗎？

生：s=160t是正比例函數(shù)， s=80+150t是一次函數(shù)

師：請回憶一下什么是函數(shù)？

生：如果在一個變化過程中，有兩個變量，例如x和y，對于x的每一個值，y都有惟一的值與之對應，我們就說x是自變量，y是因變量，此時也稱y是x的函數(shù)

【設計意圖】反比例函數(shù)是繼正比例函數(shù)和一次函數(shù)后學生學習的一種新的函數(shù)關系，設置學生熟悉的生活情境有助于引導學生回顧反比例關系和函數(shù)的概念，為接下來要引入的反比例函數(shù)關系打下基礎，也符合學生的認知規(guī)律，初步激發(fā)了學生探索新知的興趣和欲望

三、探索新知

活動一體驗新的函數(shù)

問題1根據(jù)情境中（3）的t與v的關系式，填寫表1：

（1）隨著速度的變化，全程所用時間怎么變化？（2）時間t是速度v的函數(shù)嗎？這是什么函數(shù)呢？

師：這個情境中在同一變化過程有兩個相互依存的變量是速度v和時間t，當v不斷變化時，都會產(chǎn)生唯一的一個t的值與它相對應，因此t是速度v的函數(shù)但是這樣的函數(shù)還沒有學過

【設計意圖】通過設計這樣兩個問題給學生，激發(fā)了學生思考情境（3）中的關系式是否也是函數(shù)，構建了函數(shù)意識，讓學生自主地聯(lián)系函數(shù)概念，自發(fā)地想要認識新的函數(shù)這也符合學生最近發(fā)展區(qū)的認知規(guī)律，可以最大限度地激發(fā)學生的學習興趣，提高學生思考問題的主動性和解決問題的能力，讓學生體會到生活處處皆數(shù)學，生活處處有函數(shù)

活動二歸納概念

問題2用函數(shù)表達式表示下列問題中兩個變量之間的關系

（1）修建一條長為500 km的高速公路，完成該項目的天數(shù)y（天）隨日完成量x （km）的變化而變化；（2）一家銀行為某社會福利廠提供了20萬元的無息貸款，該廠的平均年還款額y（萬元）隨還款年限x（年）的變化而變化；（3）游泳池的容積為5000 m3，注滿水池所需時間t （h）隨注水速度v （m3/h）的變化而變化；（4）實數(shù)m與n的積為-200，m隨n的變化而變化

問題3（1）請觀察這些表達式，它們有哪些共同的特點呢？（2）你能類比一次函數(shù)的定義，給反比例函數(shù)下個定義嗎？

生：xy=500，xy=20，vt=5000，mn=-200，從表達形式來看，有兩個變量一個常量，都是兩個變量的乘積形式，并且積為常量

師：請回顧一下我們如何定義一次函數(shù)

生：一般地，形如y=kx+b（k為常數(shù)，且k≠0）的函數(shù)叫做一次函數(shù)，其中x是自變量，y是x的函數(shù)當b=0時，y=kx（k為常數(shù)，且k≠0）稱為正比函數(shù)

師：你能類比一次函數(shù)的定義，給反比例函數(shù)下個定義嗎？

師生：一般地，形如y=kx （k為常數(shù)，且 k≠0）的函數(shù)叫做反比例函數(shù)，其中x是自變量，y 是x的函數(shù)

【設計意圖】通過問題2設置四個實際問題的求解過程，讓學生了解到生活中存在著豐富的具有反比例關系的事例，從而意識到學習反比函數(shù)有非常重要的現(xiàn)實意義運用類比思維方式讓學生自己歸納定義，再一次使學生感受函數(shù)研究方法的一般性，使學生對反比例函數(shù)的表象認識上升到本質的認識，從而深刻理解反比例函數(shù)的概念，為后續(xù)運用概念解決問題提供扎實的理論基礎在這一過程中學生可以通過觀察、比較、歸納等學習活動，形成結論這是學生主動參與學習的過程，既提高了學生的參與度，發(fā)揮了自由度，變被動學為主動學

活動三反比例函數(shù)的三種表示方式

問題4反比例函數(shù)的表達式也可以寫成；反比例函數(shù)的自變量x的取值范圍是

生：可以寫成乘積的形式，如xy=k（k為常數(shù)，且k≠0）

師：我們學過負指數(shù)冪，1x=x-1，還可以寫成y=kx-1 （k為常數(shù)，且 k≠0），所以反比例函數(shù)有三種表達形式

師：一次函數(shù)和正比例函數(shù)的自變量為任意實數(shù)，那反比例函數(shù)的自變量的取值是否有要求？

生：自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數(shù)

【設計意圖】從不同的問題情境中抽象出具有相同特征的數(shù)學模型，再抽象得出概念的過程，并非教師所強加，而是學生通過自己分析得出概念，突破難點，使學生的自豪感和成功感在活動中得以提升，體現(xiàn)類比、轉化、建模等數(shù)學思想，把本節(jié)課推向高潮

四、運用新知，體驗成功

例1下列關系中y是x的反比例函數(shù)嗎？如果是，寫成y=kx的形式，并指出比例系數(shù)k的值（1）xy+2=0；（2）y=-；（3）y=23；（4）y=3x-1

【設計意圖】通過辨析反比例函數(shù)，鞏固概念，可以讓大部分學生都體驗到成功的喜悅幾種表達式的歸納轉化是對知識的提煉，便于學生掌握熟練地掌握三種表達形式

例2寫出下列問題中兩個變量之間的函數(shù)表達式，并判斷它們是否為反比例函數(shù)

（1）面積是50 cm2的矩形，一邊長y （cm）隨另一邊長x （cm）的變化而變化

（2）體積是100 cm3的圓錐，高h （cm）隨底面面積S （cm2）的變化而變化

（3）江蘇省的總面積為1026×105 km2，人均占有土地面積S（km2/人）隨全省總人口n（人）的變化而變化

（4）媽媽買菜已經(jīng)用了25（元），還想買5元/斤的魚a斤，則總的花費y（元）隨著所購買的斤數(shù)a（斤）的變化而變化

【設計意圖】讓學生進一步感受反比例函數(shù)是一類反映現(xiàn)實世界特定數(shù)量關系的數(shù)學模型學生利用生活經(jīng)驗與剛剛形成的對反比例函數(shù)的認識，通過舉例、說理、交流達到內化、升華、鞏固反比例函數(shù)的意義，感受反比例函數(shù)與一次函數(shù)、正比例函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系，理解反比例函數(shù)概念，滲透函數(shù)建模的數(shù)學思想

例3已知y-3與x+2 成反比例， x=2時，y=7，求（1）y與x的函數(shù)關系式；（2）求y=5時，x的值

【設計意圖】和函數(shù)表達式相關的內容是利用待定系數(shù)法求出k的值，再根據(jù)求出的表達式，得出自變量或因變量的值通過這樣的練習可以初步培養(yǎng)學生運用知識的能力

五、練習鞏固

1已知函數(shù)y=（a+1）x|a|-2是反比例函數(shù)，則a的值為

2若y與x成反比例，且x=-3時，y=7，則y與x的函數(shù)關系式是

【設計意圖】初步培養(yǎng)學生綜合運用知識的能力，這些是具有彈性又能發(fā)展學生思維的題，可讓不同層次的學生學有所獲并使他們的能力得到提升

六、課堂小結

通過本節(jié)課的學習，你最大的收獲是什么？你最大的疑惑是什么？

【設計意圖】在獨立思考和合作交流中引導學生梳理本節(jié)課在知識和數(shù)學思想方法方面的收獲，在總結的同時讓學生體驗收獲知識的快樂

七、拓展延伸

回顧：一次函數(shù)是從哪幾個方面進行研究的？

類比：類比一次函數(shù)的研究，我們也將從這幾個方面對反比例函數(shù)進行研究

猜想：以后研究函數(shù)基本從哪幾方面去研究？

【設計意圖】為后面反比例函數(shù)的圖像和性質的研究埋下伏筆

八、教學反思

1注意做好與已學內容的銜接

反比例函數(shù)的教學，一方面要以前面所學的函數(shù)概念及相關知識為基礎，另一方面可以反過來進一步深化對函數(shù)內涵的理解和掌握

學生對與函數(shù)相關的概念不可避免會有所遺忘或生疏因此，學習好本節(jié)的關鍵是處理好新舊知識的聯(lián)系，盡可能地減少學生接受新知識的困難在引進反比例函數(shù)概念時，要適時復習第6章中 的函數(shù)、自變量、函數(shù)值、正比例函數(shù)、一次函數(shù)等相關知識，為反比例函數(shù)的學習做好鋪墊這樣，學生就能夠比較順利地接受和掌握反比例函數(shù)的概念以及后續(xù)的性質

2從概念上加強反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的對比

兩種函數(shù)的解析式的相同點是：自變量只有一個；不同點是：自變量在解析式中的位置不同，正比例函數(shù)的解析式的右邊是一個整式，不為0的常數(shù)是自變量的系數(shù)，而反比例函數(shù)的解析式的右邊是一個分式，自變量處在分母的位置，不為0的常數(shù)處在分子的位置教者應該注意鼓勵學生積極探究，盡可能激發(fā)學生的數(shù)學思維和興趣那么相對而言，學生對所學內容的掌握也就更牢固

3緊扣函數(shù)、數(shù)形結合等一些思想方法，深入理解函數(shù)的內涵

對于一個具體的反比例函數(shù)來說，它有其自身的獨特性質，其中蘊涵的變化與對應的數(shù)學思想是具有普遍性的在教學時，尤其要注意在這種數(shù)學思想的滲透方面下功夫

通過對圖像的研究和分析可以確定函數(shù)本身的性質，這體現(xiàn)的是數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，數(shù)形結合思想是數(shù)學中最重要的思想之一而數(shù)形結合的思想早在學習數(shù)軸、平面直角坐標系時就已經(jīng)學習到了，學生并不陌生結合本章內容可以進一步對數(shù)形結合的思想方法順其自然地理解，并逐步加以靈活運用，發(fā)揮從數(shù)和形兩個方面共同分析解決問題的優(yōu)勢