復(fù)變函數(shù)的學(xué)習(xí)方法研究

張美軍　孟憲吉

【摘要】復(fù)變函數(shù)論是數(shù)學(xué)分析的后續(xù)課程，是數(shù)學(xué)分析中關(guān)于實(shí)函數(shù)中連續(xù)，微分，積分等理論在復(fù)數(shù)域上的延續(xù)，由此學(xué)好復(fù)變函數(shù)對(duì)我們有著重要的意義.本文將從三方面論述學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)的方法，分別為：一、最大限度利用數(shù)學(xué)分析已有知識(shí)，初步了解復(fù)變函數(shù)；二、找出復(fù)變函數(shù)和數(shù)學(xué)分析的不同，深刻認(rèn)識(shí)復(fù)變函數(shù)；三、理解復(fù)變函數(shù)獨(dú)有的特點(diǎn)，整體把握復(fù)變函數(shù).通過(guò)具體的例子與例題具體論述，幫助我們更好的把握復(fù)變函數(shù)知識(shí).

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)分析；復(fù)變函數(shù)

【基金項(xiàng)目】遼寧省普通高等學(xué)校本科教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目（UPRP20140526）

一、最大限度利用數(shù)學(xué)分析已有知識(shí)，初步了解復(fù)變函數(shù)

1.定 義

復(fù)變函數(shù)ω=f（z）的定義在形式上與數(shù)學(xué)分析中一元函數(shù)的定義基本一樣，但與之不同的是，復(fù)變函數(shù)的自變量和函數(shù)值均取復(fù)數(shù)，且在復(fù)數(shù)中，自變量與函數(shù)值不只遵循一對(duì)一的原則，更衍生出一對(duì)多即多值函數(shù)的定義，即一個(gè)自變量z有幾個(gè)或無(wú)窮多個(gè)函數(shù)值與之對(duì)應(yīng).

2.極 限

掌握復(fù)變函數(shù)極限的定義，首先要準(zhǔn)確把握一元實(shí)函數(shù)y=f（x）及二元實(shí)函數(shù)y=f（x，y）的定義及兩者不同之處.復(fù)變函數(shù)ω=f（z）在形式與一元實(shí)函數(shù)y=f（x）的極限定義相似，其性質(zhì)也可以平移使用.但是不同的是：對(duì)于一元實(shí)函數(shù)y=f（x）的極限：limx→x0f（x） x→x0指在x軸上x(chóng)沿x0的左右兩個(gè)方向趨近x0，而復(fù)變函數(shù)ω=f（z）的極限：limz→z0f（z） z→z0要沿著從四面八方通向z0的任何路徑趨于z0.

3.連續(xù)性

對(duì)于一元實(shí)函數(shù)的三要素分別為：①f（x）在點(diǎn)x0處有意義 ②f（x）在點(diǎn)x0處有極限 ③limx→x0f（x）=f（x0） ，對(duì)于復(fù)變函數(shù)ω=f（z）的連續(xù)性也必須滿足這三要素，并且其性質(zhì)與一元實(shí)函數(shù)y=f（x）連續(xù)性相似.但是由于復(fù)變函數(shù)f（z）=u（x，y）+iv（x，y）沿E在點(diǎn)z0=x0+iy0處連續(xù)的充要條件為：二元實(shí)變函數(shù)u（x，y），v（x，y）沿E于點(diǎn)（x0，y0）連續(xù)，由此可知，復(fù)變函數(shù)ω=f（z）連續(xù)性的證明要依靠于二元實(shí)函數(shù)連續(xù)性的證明.

4.導(dǎo)數(shù)與微分

由于復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與定義形式上與數(shù)學(xué)分析中一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義一致，因此微分學(xué)中的幾乎所有求導(dǎo)基本公式及法則都可以推廣到復(fù)變函數(shù)中來(lái).和導(dǎo)數(shù)的情形一樣，復(fù)變函數(shù)的微分定義形式上也與數(shù)學(xué)分析中一元函數(shù)微分定義一致，由函數(shù)ω=f（z）在區(qū)域D內(nèi)可微衍生出復(fù)變函數(shù)中一個(gè)重要的定義：解析.解析函數(shù)是復(fù)變函數(shù)研究的主要對(duì)象.

5.積 分

一元實(shí)函數(shù)定義積分的思路為：分割，取值，求和，取極限，這種思路完全可以應(yīng)用到復(fù)函數(shù)的積分定義上來(lái)，并且復(fù)函數(shù)定積分的計(jì)算規(guī)則與基本性質(zhì)也與一元實(shí)函數(shù)基本相同.例如：復(fù)變函數(shù)積分中仍有牛頓——萊布尼茨公式，只是公式的條件要求與一元實(shí)函數(shù)的要求不同，在一元實(shí)函數(shù)中，由原函數(shù)存在定理可知：只要被積函數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù)，都可以應(yīng)用牛頓—萊布尼茨公式來(lái)求積分；而對(duì)復(fù)變函數(shù)而言，要應(yīng)用牛頓—萊布尼茨公式，需要被積函數(shù)f（z）在單連通區(qū)域D內(nèi)連續(xù)且處處解析時(shí)才有∫z2z1f（z）dz=F（z1）-F（z2）

二、理解復(fù)變函數(shù)獨(dú)有的特點(diǎn)，整體把握復(fù)變函數(shù)

學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)，不僅要求學(xué)生類(lèi)比已有的數(shù)學(xué)分析中的知識(shí)，做到融會(huì)貫通，更需要學(xué)生新增知識(shí)，重點(diǎn)把握.本部分將從復(fù)變函數(shù)f（z）的解析性，柯西積分定理，柯西積分公式三個(gè)方面論述.

1.f（z）的解析性

解析函數(shù)是復(fù)變函數(shù)研究的主要對(duì)象，它具有很多很好的性質(zhì)如：無(wú)窮可微性.

（1）復(fù)變函數(shù)ω=f（z）在z0∈D處解析是指f（z）在點(diǎn)z0處可微，并且在該點(diǎn)的鄰域內(nèi)每一點(diǎn)均可微；而w=f（z）在D上解析是指在D內(nèi)的每一點(diǎn)都可微，從而就會(huì)出現(xiàn)f（z）只在一個(gè)孤立點(diǎn)或只在一條直線上可微，但是各點(diǎn)都未形成由可微點(diǎn)構(gòu)成的圓鄰域，導(dǎo)致f（z）在D上不解析.

（2）解析函數(shù)的無(wú)窮可微性

函數(shù)f（z）在z平面上的區(qū)域D內(nèi)解析，則f（z）在D內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)，并且它們也在D內(nèi)解析.我們要注意：在數(shù)學(xué)分析中，區(qū)間上的可微函數(shù)在此區(qū)間上不一定有二階導(dǎo)數(shù)，更不必談高階導(dǎo)數(shù).

2.柯西積分定理

對(duì)于柯西積分定理，學(xué)生須知該定理肯定了復(fù)變函數(shù)積分的值與積分路徑無(wú)關(guān)的條件（沿區(qū)域內(nèi)任何閉曲線積分值為0的條件）是與被積函數(shù)的解析性及解析區(qū)域單連通性有關(guān).

即函數(shù)f（z）在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，C為D內(nèi)任一條簡(jiǎn)單閉曲線，則∫Cf（z）dz=0.

由于柯西積分定理的全部理論是建立在兩個(gè)假設(shè)之上的：（1）所考慮的區(qū)域D是單連通區(qū)域，

（2）f（z）在D內(nèi)為解析函數(shù)，所以如果兩個(gè)條件有一個(gè)不具備，一般來(lái)說(shuō)定理結(jié)論不再成立.所以若在區(qū)域D內(nèi)有函數(shù)f（z）的奇點(diǎn)，就要將這些點(diǎn)從D內(nèi)除去，從而把多連通區(qū)域變?yōu)閺?fù)連通區(qū)域，此時(shí)沿復(fù)周線外邊界積分等于沿內(nèi)邊界積分之和.