淺議數學概念教學

劉尊革

摘要：數學知識體系主要是由數學概念和數學命題構成的，而數學概念又是數學命題的主要組成部分，是學生掌握數學知識、形成基本技能的關鍵，是解決問題的基礎，而數學概念教學是數學教學活動的主要內容之一。數學概念具有高度的抽象性和廣泛的概括性，一些學生之所以感到學習數學有困難，很大程度上是因為對數學的相關概念理解不透，沒有真正掌握概念的本質屬性。因此，抓好數學概念教學對提高數學教育教學質量至關重要。

關鍵詞：本質屬性；數學概念；數學概念教學

一、數學概念的含義

人們對概念的認識和理解，大多源自哲學的認識論。認識論認為，人的認識是對客觀現實的主觀反映。概念被定義為“反映客觀事物的共同本質屬性的思維形式”。數學概念則是反映某些數學對象共同本質屬性的一種思維形式，是用數學語言來揭示客觀事物的空間形式與數量關系的本質屬性。數學概念包括概念的名稱（符號）、定義、屬性、例子四個方面。例如“直角三角形”這個概念，這一概念的名稱是“直角三角形”（符號是Rt△），定義是“有一個角是900的三角形叫直角三角形”，本質屬性是“有一個角是900”，舉例可以通過正面舉例和反面舉例進行辨析。

二、數學概念的特點

（一）數學概念的抽象性

這是因為數學概念代表的是一類數學對象的本質屬性，而不是個別對象，它在一定的范圍內具有普遍意義，這就決定了它的抽象性。如“直角三角形”這個概念，代表的是各種顏色、各種大小、各種位置的抽象的直角三角形，而任何具體顏色、大小的直角三角形都只不過是它的特例而已。

（二）數學概念的概括性

由于數學概念反映的是事物在空間形式和數量關系上共同的本質屬性，而不是個別事物表面上的屬性，通常是經過多層次的抽象概括得來的，它往往脫離了事物的具體原型，所以有很強的概括性。

（三）數學概念的符號化

數學概念要用數學語言表達出來，數學符號是數學語言的一種，它具有簡潔、明了、便于記憶等特點。許多數學概念都用特定的數學符號來表示，如平行用“∥”、垂直用“⊥”來表示等，充分體現了數學概念表示方式的簡單性，同時也展現了數學的簡潔美。

（四）數學概念的系統性

每一個數學分支的數學概念都是由原始概念出發，經過不斷抽象的定義，使得前一層的數學概念為后一層抽象程度更高的數學概念服務，從而形成一個概念系統。就某一具體的數學知識而言，相關的概念也會形成一個系統。如與三角形這一知識相關的概念，邊、角、高、中線、角平分線、外接圓等組成一個關于三角形概念的系統。

三、數學概念的類別

（一）原始概念

從一個實例來認識原始概念。“三條邊都相等的三角形叫等邊三角形”（用到了“三角形”的概念），“三條線段首位相連構成的封閉圖形叫三角形”（用到了“線段”的概念），“直線上兩點間的部分叫線段”（用到了“直線”的概念），那么什么是直線？如何定義？以此類推，總有一個概念不能定義。“直線”就是一個原始概念，類似的原始概念還有許多，如點、平面、集合，等等。

（二）定義性概念

數學中的概念基本上都是定義性概念，如三角形、等比數列、正弦函數、復數等都是定義性概念。需要注意的是，有些數學概念在學生開始接觸時并不以定義性概念出現，如“代數式”這一概念，一開始是這樣描述的，像5，a，4a，ab，a+b，s/t，a2這樣的式子都是代數式，到后續學習時才給出代數式的定義性概念：代數式是用基本運算符號（包括加、減、乘、除、乘方、開方）把數、表示數的字母連接成的式子。教材這樣安排是考慮到學生的認知水平，教師教學時重點不應放在如何給代數式下定義，應淡化概念形式，注重概念的實質。

四、數學概念獲得的心理分析

學習數學概念，實質上就是讓學生理解并掌握一類數學事物的本質屬性，目的就是運用概念來解決問題。學生學習數學概念有兩種基本方式，一是概念的形成，二是概念的同化。

（一）概念的形成

概念的形成是指從大量的具體例子出發，經過觀察、分析、比較，歸納出一類事物的本質屬性的過程，然后再通過具體的例子對所發現的屬性進行檢驗，最后通過概括得到概念的定義。其心理活動過程大致可分為以下幾個階段：1.通過例子——提供辨別刺激模式；2.通過比較、類比——找出共同屬性；3.通過抽象、檢驗——確認本質屬性；4.通過概括——形成概念。數學概念的形成是由特殊到一般、由具體到抽象的過程，從概念本身的角度來考慮，適用于在概念體系中起基礎作用和核心作用或較難理解的數學概念的學習。

（二）概念的同化

概念的同化是指一般用定義的方式直接揭示概念的本質屬性，學生利用已掌握的概念去理解新的概念。以概念同化方式獲得概念的心理發展過程如下：1.觀察——概念定義；2.分析——突出本質；3.系統化——新舊聯系；4.比較——實例確認；5.具體化——概括應用。學生能否建立與頭腦中原有數學概念的聯系，明確新概念的內涵和外延，再通過對實例進行辨析，弄清新舊概念間的區別，將新概念納入到原有的數學概念體系中，使原有的認知結構得到完善，形成新的知識系統，是學習新概念能否成功的關鍵。概念的同化是學習數學概念的主要方法，運用概念的同化方式學習新概念，要求學生要有一定的學習動力和學習積極性，要學習的新概念本身也要具有一定的邏輯意義，同時學生原有的認知結構中要具有同化新概念的知識基礎。

在實際的概念教學中，一般不讓學生單純地用某一種方式來學習數學概念。用概念的形成方式來學習，比較接近人類自發形成概念的過程，方便對概念的理解，但較耗時。若僅用概念同化的方式來學習，由于數學概念的抽象性強，概括性廣，學生難以把握概念背后的豐富材料，對概念的理解往往不夠透徹，影響對概念的本質屬性的掌握，所以，教學中教師應結合所學概念的特點靈活選擇，兩種獲得概念的方式綜合運用，注意揚長避短，互相補充，使教學效果達到最佳狀態。

五、促進數學概念學習的教學建議

數學概念的教學過程大致分為三個階段，即概念的引入、概念的理解和概念的應用。

（一）概念的引入

在概念的引入時，教師應側重于引起學生的注意，激發學生的學習興趣，體現概念的本質，蘊含概念發生的思維方法等，做到先聲奪人。

1.根據概念的定義形式引入

數學概念一般都是用比較精確的數學語言來定義，給概念下定義的形式多種多樣，不同形式的定義要考慮用不同的方式來引入。如在“拋物線”概念的教學中，教師課前準備好教具，課堂上現場演示，讓學生到講臺前具體操作，親身體驗拋物線的形成過程，充分揭示概念的本質屬性，而不是把教學重點放在講解拋物線的定義上。

2.根據學生認知的思維特點引入

在不同的年齡階段，學生認知的思維特點有明顯的區別，小學生以具體的形象思維為主，中學生由具體的形象思維發展為抽象的邏輯思維，大學生的創造性思維逐漸確立。但不論在哪個學段，在引入概念時，若能結合其認知的思維特點，注意引入方式的趣味性，激發其學習興趣，就會收到良好的教學效果。

（二）概念的理解

俗話說：“概念不清，做題瞎蒙。”為了盡量避免這種現象，教學中教師可以通過下列幾種方式讓學生加深對概念的理解：

1.重視對概念內涵的分析

用來給數學概念下定義的語言一般都很精煉，表達嚴密，概括性較強。教學中，教師要抓住概念中的關鍵詞、句，并對其進行解剖分析，充分揭示概念的內涵，讓學生正確理解并掌握概念的本質屬性。如在偶函數的概念教學中，根據“對于函數定義域內的任意一個x，都有f（-x）=f（x）成立”，分析得出，偶函數的定義域必須關于原點對稱。

2.利用變式，突出概念的本質屬性

一般意義上的教學變式分為兩類：一是屬于概念外延集合的變式（正例變式）；一是雖不屬于概念外延的變式，但與概念對象有某些共同的非本質屬性的變式（反例變式）。正例變式有利于“豐富”概念，反例變式有利于“純潔”概念，在概念的形成階段、深化階段及應用階段合理運用變式教學，能盡可能避免概念的非本質屬性帶來的干擾，突出其本質屬性，有利于提高概念教學的課堂效率。如學過函數的奇偶性后，可列舉一些具體的函數（正、反變式）讓學生進行辨析，以加深對奇、偶函數概念的理解。

3.注意概念間的類比

數學中有許多概念是相關聯的、類似的，教學中應有機地把它們聯系在一起進行類比，在比較中加以甄別，澄清模糊，能起到由此及彼、溫故知新的作用，如數列極限和函數極限的類比。

4.注意使概念系統化

在數學概念教學中，不僅要讓學生掌握單個的概念，還要讓學生掌握一定的概念體系，建立良好的數學認知結構。除了原始概念外，一般一個新的數學概念總是在原有的概念上形成的，因此，新舊概念之間有著內在的聯系，如相鄰關系、對立關系、矛盾關系、從屬關系、并列關系等，這些聯系是建構概念體系的前提。教師應結合教學實際，及時引導學生將學過的概念加以整理、歸類，理清概念間的關系，將它們連點串線，建立科學的概念網絡體系。

（三）概念的應用

數學命題離不開數學概念，問題的解決更離不開數學概念。概念的運用有助于檢查學生對概念理解和掌握的程度。在概念的運用中要注意精選例子，能舉一反三，觸類旁通，避免題海戰術。

數學概念教學是數學教學中的一項重要任務，數學概念的學習是學生學習數學的基礎。教師在教學設計中應注意以下幾點：一是盡可能地展現數學概念的來龍去脈，從學生熟悉的、親身感受的生活經驗人手；二是注意用準確的數學語言來描述數學概念。教師在對數學概念進行描述時，應當用精煉的語言，準確地反映概念的本質特征；三是教師應充分估計到學生對概念理解的困難，幫助學生從不同角度理解數學概念；四是數學概念的教學是一個反復多次、螺旋上升的過程。對概念的學習不能只停留在概念課上，有時需要把它放在整個數學課程體系中去認識。對概念的學習，應成為其他數學課型中隨時隨地關注的焦點，數學概念應作為認識數學、理解數學基本脈絡的一個基礎。

從某種意義上講，學生數學水平的高低往往取決于對數學概念掌握的程度。作為數學教師，不僅要認識到數學概念和數學概念教學的重要性，更要結合教學實際，思考如何具體實施數學概念教學，從而達到提升學生數學素養的目的。