對2013年江西高考文科數學試卷第20題的探究

魏東升　羅鵑花

[摘 要] 解析幾何是高中數學的一個重要模塊，其核心內容是直線與圓錐曲線.在考查學生基礎、能力、素質、潛能的考試目標指導下，每年高考數學對解析幾何的考查都占較大的比例.而最值、范圍、定點、定值問題是其考查的主要內容，2013年江西高考文科數學試卷第20題就很好地體現了這一點.

[關鍵詞] 高考 圓錐曲線 解題 探究

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674 6058（2016）17 0048

筆者通過對2013江西高考文科數學試題的研究，發現第20題所要證明的結論對橢圓來說具有一般性，為方便討論，引原題如下：

橢圓C： x2 a2 + y2 b2 =1（a>b>0）

的離心率e= 3 2 ，a+b=3.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）如右圖，A和B是橢圓C的長軸頂點，D是短軸頂點，P是橢圓C上除頂點外的任意點，直線DP交x軸于點N，直線AD交BP于點M，設BP的斜率為k，MN的斜率為m，證明2m-k為定值.

解答：

略.

筆者關心的是，如果把“e= 3 2 ，a+b=3”這兩個條件省略，即對于一般的橢圓 x2 a2 + y2 b2 =1（a>b>0）

，（Ⅱ）中的結論還能成立嗎？筆者的回答是肯定的，證明如下：

設直線lBP：y=k（x-a）（由題意可知k≠0，± b a ），易知lAD：y= b a x+b，聯立lBP和lAD的方程，可求得M（ a2k+ab ak-b ， 2abk ak-b ）

，將lBP的方程代入橢圓方程 x2 a2 + y2 b2 =1

中，可得P（ a3k2+ab2 a2k2+b2 ， -2ab2k a2k2+b2 ）

.設N（t，0），易知D（0，b）.由D，P，N三點共線可知： 0-b t-0 =

-2ab2k a2k2+b2 -b

a3k2+ab2 a2k2+b2 -0

.解之可得N（ a3k2-ab2 a2k2+2abk+b2 ，0），從而

kmn= a2k2+2abk+b2 2a2k+2ab

，所以2m-k= a2k2+2abk+b2 a2k+ab -k=

abk+b2 a2k+ab =

b a

（定值）.

于是得到：

結論1 橢圓C： x2 a2 + y2 b2 =1（a>b>0）

，A和B是橢圓C的長軸頂點，D是短軸頂點，P是橢圓C上除頂點外的任意點，直線DP交x軸于點N，直線AD交BP于點M，設BP的斜率為k，MN的斜率為m，則2m-k為定值.

特別地，當a=2，b=1時，就是2013年江西高考文科數學試卷第20題.

這個結論對橢圓來說，具有一般性，那是否同樣適用于雙曲線呢？帶著這個疑問，筆者作了如下探索：

設直線lBP：y=k（x-a）（由題意可知k≠0），易知lAD：y= b a x+b，聯立lBP和lAD的方程，可求得M（ a2k+ab ak-b ， 2abk ak-b ）

，將lBP的方程代入雙曲線方程 x2 a2 - y2 b2 =1

中，可得P（ a3k2+ab2 a2k2-b2 ， 2ab2k a2k2-b2 ）

.

設N（t，0），易知D（0，b）.由D，P，N三點共線可知： 0-b t-0 =

2ab2k a2k2-b2 -b

a3k2+ab2 a2k2-b2 -0

.解之可得N（ a3k2+ab2 a2k2-2abk-b2 ，0），從而kmn=

-a2k2+2abk+b2 2ab

，而此時2m-k=

-a2k2+2abk+b2 ab -k=

-a2k2+abk+b2 ab

，顯然不再是一個定值.

由此可知，橢圓的這個一般性結論不能夠推廣到雙曲線中，至于是否可以推廣到拋物線中，請感興趣的讀者自己驗證.值得一提的是，雖然對雙曲線來說，2m-k不是定值，但易得m-k+ a 2b k2

為定值，證明略.

于是得到：

結論2 雙曲線方程C： x2 a2 - y2 b2 =1（a>0，b>0）

，A和B是雙曲線C的實軸頂點，D是虛軸頂點，P是雙曲線C上除頂點外的任意點，直線DP交x軸于點N，直線AD交BP于點M，設BP的斜率為k，MN的斜率為m，則m-k+ a 2b k2為定值.

（責任編輯 鐘偉芳）