高中數學模型解題法之三角函數

閻禮波

[摘 要] 三角函數公式繁多，學生面對眾多公式，該怎樣從中選擇合適的公式來化簡解析式呢？對需要化簡成一角一函數的三角函數解析式，化簡模型是：有軸線角時用誘導公式；有特殊角時用兩角和差公式；有平方時用降冪（余弦倍角逆運用）公式；有同角正余弦乘積時逆用正弦二倍角公式，最后用輔助角公式收官.

[關鍵詞] 三角函數 一角一函數 解題模型

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674 6058（2016）17 0051

三角函數是高中數學中基本的初等函數之一，該部分內容歷來是高考的重點、熱點之一.因其難度相對較低，普遍屬于基礎題、中檔題，利用公式化簡三角函數解析式并求其性質，是大多數學生的爭分點.

對于求三角函數的性質，如周期性、最值、值域、單調區間、對稱性、奇偶性等，若函數解析式已經是一角一函數y=Asin（ωx+φ）+b形式，學生可以直接求解；

若函數解析式不是y=Asin（ωx+φ）+b形式，就必須先利用公式將函數解析式化簡成該形式，才能求其性質.眾所周知，三角函數是整個中學數學課程內容中公式最為繁多的知識.面對眾多的三角函數公式，該怎樣從中選擇合適的公式來化簡解析式呢？許多學生覺得無從下手.雖然也有很多學生能化簡出來，但他們也有一種思緒凌亂，難以把握規律的感覺.本文針對一角一函數的化簡，給學生總結、歸納一個規律方法和解題技巧.

對復雜的三角函數解析式的化簡，我們所用的解題簡模型為：

在化簡過程中，每個步驟都有明顯的標志，但每次做題并不是五個步驟都要用上，有時只用到其中的一個或幾個.具體的做法如下.

第一步，有軸線角（或相關的角）用誘導公式

判斷表達式有沒有軸線角或者與軸線角有關的角，如 π 2 +α， 3π 2 ±α

，kπ±α，2kπ±α，（k∈ Z ），若有，就可以馬上用誘導公式；若沒有，可以進行第二步.

第二步，有特殊角用兩角和差公式

判斷有沒有兩角和或差，如sin（x+ π 3 ），cos（x- π 4 ）等，它們通常會含有 π 3 ， π 4 ， π 6 等特殊角.若有特殊角，即可直接用兩角和差公式展開；若沒有特殊角，則進行第三步.

第三步，有平方則用降冪公式

判斷解析式有沒有sin2x或cos2x，若有，就分別用sin2=

1-cos2x 2 ，cos2x= 1+cos2x 2

進行降冪；若沒有，則進行第四步.

第四步，含同角正余弦乘積逆用正弦二倍角公式

判斷解析式是否含有sinx·cosx，若有，就用2sinx·cosx=sin2x代入；若沒有，則可以進行最后一步.

第五步，用輔助角公式收官

經過上面四個步驟的變化，解析式會帶有asinx+bcosx的形式，最后用輔助角公式asinx+bcosx= a2+b2 sin（x+φ）

，就能達到最終的目的.

下面，我們來看經典例題：

【例1】 把以下各式化簡成y=Asin（ωx+φ）+b的形式.

（1）f（x）=sin（ π 3 -2x）+sin2x；

（2）f（x）=2sin（π-x）cosx；

（3）f（x）=2sinxcosx+2 3 sin2x；

（4）f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx；

（5）f（x）=2sinxcos（ π 2 -x）- 3 sin（π+x）cosx+sin（ π 2 +x）cosx.

解析： （1）此題沒有軸線角，不用第一步誘導公式；沒有sin2x，cos2x，不用第三步降冪公式；沒有sinx·cosx，不用第四步.

f（x）=sin（ π 3 -2x）+sin2x（有 π 3 -2x，用第二步兩角和差公式）

= 3 2 cos2x- 1 2

sin2x+sin2x

= 3 2

cos2x+ 1 2 sin2x（用第五步輔助角公式）

=sin（2x+ π 3 ）.

（2）此題不用第二步兩角和差公式；沒有sin2x，cos2x，不用第三步降冪公式.

f（x）=2sin（π-x）cosx（用第一步誘導公式）

=2sinxcosx（用第四步逆用正弦二倍角公式）

=sin2x.（不用第五步輔助角公式）

（3）此題沒有軸線角，不用第一步誘導公式，不用第二步兩角和差公式.

f（x）=2sinxcosx+2 3 sin2x（用第三步降冪公式和第四步逆用正弦二倍角公式）

=sin2x+2 3 · 1-cos2x 2

=sin2x+ 3 cos2x+ 3 （用第五步輔助角公式）

=2sin（2x+ π 3 ）+ 3 .

（4）此題沒有軸線角，不用第一步誘導公式，不用第二步兩角和差公式.

f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx（用第三步降冪公式）

=sin2ωx+cos2ωx+2sinωxcosωx+2· 1+cos2ωx 2

（逆用正弦二倍角公式）

=sin2ωx+cos2ωx+2

= 2 sin（2ωx+ π 4 ）+2.（用第五步輔助角公式）

（5）不用第二步兩角和差公式.

f（x）=2sinxcos（ π 2 -x）- 3 sin（π+x）cosx+sin（ π 2 +x）cosx（用第一步誘導公式）

=2sin2x+ 3 sinxcosx+cos2x（用第三步降冪公式和第四步逆用正弦二倍角公式）

=2· 1-cos2x 2 +

3 2

sin2x+

1+cos2x 2

= 3 2

sin2x- 1 2 cos2x+ 3 2 （用第五步輔助角公式）

=sin（2x- π 6 ）+ 3 2 .

【例2】

（2013·安徽）已知函數f（x）=4cosωx·sin（ωx+ π 4 ）（ω>0）的最小正周期為π.

（1）求ω的值；

（2）討論f（x）在區間[0， π 2 ]上的單調性.

分析： 此題

不需要用

第一步誘導公式、第三步降冪公式，只要用第二步兩角和差公式、第四步逆用正弦二倍和公式和第五步輔助角公式.

解： （1）f（x）=4cosωx·sin（ωx+ π 4 ）

=2 2 sinωx·cosωx+2 2 cos2ωx

= 2 （sin2ωx+cos2ωx）+ 2

=2sin（2ωx+ π 4 ）+ 2 .

因為f（x）的最小正周期為π，且ω>0，

從而有 2π 2ω =π，故ω=1.

（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x+ π 4 ）+ 2 .

由0≤x≤ π 2 ，得 π 4 ≤2x+ π 4 ≤ 5π 4 .

當 π 4 ≤2x+ π 4 ≤ π 2 ，即0≤x≤ π 8 時，f（x）單調遞增；

當 π 2 ≤2x+ π 4 ≤ 5π 4 ，即 π 8 ≤x≤ π 2 時，f（x）單調遞減.

綜上可知，f（x）在區間[0， π 8 ]上單調遞增，在區間[ π 8 ， π 2 ]上單調遞減.

【例3】 （2013·陜西）已知向量 a =（cosx，- 1 2 ）， b =（ 3 sinx，cos2x），x∈ R ，設函數f（x）= a · b .

（1）求f（x）的最小正周期.

（2）求f（x）在[0， π 2 ]上的最大值和最小值.

分析： 此題是三角與向量的簡單結合，

不需要用

第一步誘導公式、第二步兩角和差公式和第三步降冪公式，只要用第四步逆用正弦二倍角公式和第五步輔助角公式.

解析： f（x）=（cosx，- 1 2 ）·（ 3 sinx，cos2x）

= 3 cosxsinx- 1 2 cos2x

= 3 2 sin2x- 1 2 cos2x

=sin（2x- π 6 ）.

（1）f（x）最小正周期為T= 2π ω = 2π 2 =π.

（2）∵0≤x≤ π 2 ，∴- π 6 ≤2x- π 6 ≤ 5π 6 .

由正弦函數的性質，知

當2x- π 6 = π 2 ，即x= π 3 時，f（x）取得最大值1.

當2x- π 6 =- π 6 ，即x=0時，f（x）取得最小值- 1 2 .

因此，f（x）在[0， π 2 ]上的最大值是1，最小值是- 1 2 .

模型解題法是近年來國家研究的重點課題.面對數學問題，我們需要不斷地提煉、總結解題策略，形成程序化的思考過程或步驟.這被稱為解題思維策略模型.我們可把一些題目的解決方法進行系統的歸納、概括，從中抽出有共性的、規律性的東西，形成解題的統一思維模型.我們稱之為數學模型解題法.

用解題模型的具體操作方法進行思考與應用，能形成條件反射，變成我們解題的自覺行為，從而高效解題.本文介紹了—角—函數的化簡五部曲，如果學生掌握了這五部曲，找到規律，便能輕而易舉地化簡解析式.

（特約編輯 嘉 卉）