利用數形結合法巧解疑難問題

熊興勇

[摘 要] 高中數學試卷中的綜合試題或是計算量大，或是幾種知識混合應用，或是題設結論之間的聯系不易被發現，學生碰到這類題往往會覺得頭痛，甚至放棄做題.其實通過訓練，這類試題是有規律破解的.解這類題型最有效的辦法就是數形結合.通過分析題設或結論的幾何意義，達到“以形助數”或“以數解形”，把抽象思維和形象思維進行結合，實現復雜問題簡單化、抽象問題具體化，從而解決問題.

[關鍵詞] 數形結合 以形助數 例題

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674 6058（2016）17 0053

數形結合就是把抽象的數學語言、數量關系和直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”的形式，把抽象思維和形象思維進行結合，達到將復雜問題簡單化、抽象問題具體化的目的，從而解決問題.現就利用表達式的幾何意義，利用數形結合法解決一些不容易入手的或計算量大的問題，希望能幫助學生掌握解題技巧.

【例1】 函數f（x）=ln（ x2+x+1 - x2-x+1 ） 的值域是（ ）.

A.（-∞，0） B.（-1，0） C.（0，1） D.（0，+∞）

這是一道2007年高考模擬考試選擇題的壓軸題，不易入手.學生往往想到用求導的方法去求函數的值域，但求導過程很復雜.若利用數形結合法分析，則使解題思路清晰，可以化繁為簡.

解析： 利用函數的幾何意義，

∴如圖1， x2+x+1 - x2-x+1

可看做x軸上的一個動點P（x，0）到定點M（- 1 2 ， 3 2 ）和N（ 1 2 ， 3 2

）的距離之差，即 x2+x+1

- x2-x+1 =

|PM|-|PN|.

而|PM|-|PN|<|MN|=1，同時考慮函數的定義域，

所以0< x2+x+1 -

x2-x+1

<1.

所以函數f（x）=ln（ x2+x+1 -

x2-x+1

）的值域是（-∞，0）.

【例2】 定義在 R 上的函數f（x）滿足

f（4）=1，f′（x）為函數的導函數，已知

函數y=f′（x）的圖像如圖2所示，兩個

正數a、b滿足f（2a+b）<1，則 b+2 a+2

的取值范圍是（ ）.

A.（ 1 3 ， 1 2 ）

B.（-∞， 1 2 ）∪（3，+∞）

C.（ 1 2 ，3）

D.（-∞，-3）

這是一道西安市八校聯考試題，學生摸不著頭腦，不知道題設與結論之間有什么聯系，但利用 b+2 a+2

的幾何意義，則不難理清解題思路.

b+2 a+2 = b-（-2） a-（-2） 可看成過點（a，b）與點（-2，-2）的直線的斜率.

解析：

當x>0時，f′（x）>0，∴當x>0時，f（x）為增函數.

∵a>0，b>0，∴2a+b>0.

∴f（2a+b）<1=f（4）2a+b<4.

由此得約束條件

a>0，b>0，2a+b<4.

以a為橫軸、b為縱軸建立直角坐標系，

畫出可行域為Rt△OAB，

如圖3所示.

b+2 a+2 可看成可行域內任意一點（a，b）與點P（-2，-2）連線的斜率.

∴ 1 2 =kPB< b+2 a+2

∴ b+2 a+2

的

取值范圍為（ 1 2 ，3）.

【例3】 關于x的方程x3+ax2+bx+c=0的三個實根可作為一個橢圓、一個雙曲線、一個拋物線的離心率，則 b-1 a+1

的取值范圍是（ ）.

A.（0，2）

B.（-2，0）

C.（0，1）

D.（-1，0）

此題的構思與上一題是同一思路，利用方程實根的取值范圍，確定a、b的取值范圍，則 b-1 a+1

的幾何意義就是坐標平面上動點（a，b）與定點（-1，1）連線的斜率，但與上一題的區別是多了一個待定系數c.

解析： 由題意知，方程x3+ax2+bx+c=0的三個實根01，x3=1.

以a為橫軸、b為縱軸建立直角坐標系，

畫出可行域，如圖4.則 b-1 a+1 表示

可行域內的點（a，b）與點（-1，1）連線的斜率k.

∴-2

【例4】 已知△ABC，如果對一切實數t

都有|BA - tBC |≥|AC |，則△ABC一定為（ ）.

A.銳角三角形

B.鈍角三角形

C.直角三角形

D.與t的值有關

這是2009年鄭州市高中畢業班質量預測卷選擇題的壓軸題，是有關向量方面知識的試題.學生初看不知從何下手，但若用

數形結合法

去分析，則易知答案.

解法二：

由得點P是以原點為圓心、OF1為半徑的圓與右準線的交點

P點縱坐標為以后方法同上.

通過以上幾個例題的分析可以看到，在處理疑難數學問題時，合理地使用數形結合法，

能減少計算量

，快速地解決問題.

（責任編輯 鐘偉芳）