求φ的兩種常用方法

李瑞華　汪孔娟

[摘 要] 介紹兩種應用條件快速地求出初相φ的方法.這兩種方法分別為利用最值點求φ和利用平衡點求φ.

[關鍵詞] 初相 最值點 平衡點

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674 6058（2016）17 0055

在求三角函數型y=Asin（ωx+φ）+k（A>0，ω>0）的解析式中，學生普遍感覺難求初相φ.本文介紹如何最快求解初相φ.

要想快速地求出初相φ，就必須回顧五點作圖法的列表.作函數y=Asin（ωx+φ）+k（A>0，ω>0）的圖像的第一步是列表：

列表時，先填中間一行：

為什么先填中間的一行呢？仔細回想，“0、 π 2 、π、 3π 2 、2π”是正弦函數y=sinx的“五點作圖法”中的五個關鍵點（三個平衡點，兩個最值點）.“ωx+φ”叫做相位.對相位的理解，影響求初相φ.對正弦型函數y=Asin（ωx+φ）+k（A>0，ω>0）來說，相位“ωx+φ”的五個數據對 應的是五個關鍵點：第一個平衡點（- φ ω ，k）；最高點（ π 2ω - φ ω ，A+k）；第二個平衡點（ π ω - φ ω ，k）；最低點（ 3π 2ω - φ ω

，-A+k）；第三個平衡點（ 2π ω - φ ω ，k）.對比正弦函數y=sinx，有三個平衡點和兩個最值點，求A、k和周期T（進而求ω）就很容易理解了.這五個關鍵點的坐標是不用背的.我們將x的值代入相位“ωx+φ”，找對應的相位的值即可.如：當x= π 3

時，函數值最大或圖像最高，則ω× π 3 +φ= π 2

，解方程求φ（ω已知）.這是運用整體思想求解的.事實上，“ωx+φ”相當于y=sinx中的“x”，相位的本意也正在此.

由圖像的五個關鍵點求φ時，優先考慮最值點.因為最值點對應的相位是唯一的，最高點對應的是 π 2 ，最低點對應的是 3π 2 .如果無最值點，再考慮平衡點.此時要判斷清楚是第幾個平衡點，才能找準相位.如果無這五個關鍵點，則代入一般點，通過解三角函數求得φ.若所求得的值不在所給范圍內，則根據周期進行調整.

一、利用最值點求φ

圖1

【例1】 （2015·陜西，理3改編）如圖1，某港口一天6

時到18時的水深變化曲線近似滿足函數y=3sin（ π 6 x+φ）+k，（|φ|< π 2 ），據此函數圖像可知，φ的值為（ ）.

A. π 6

B.- π 6

C. π 3

D.- π 3

答案： B.

解析： 觀察圖1，求φ選擇代入最低點，由最低點的相位求解.由圖1知，當x=10時，ymin=2，∴ π 6 ×10+φ= 3π 2 ，解得：φ=- π 6 .

點評： 如果題設沒有限制φ的范圍，則得到φ=2kπ- π 6 ，k∈ Z .如果題設還給有其他點，那么仍是優先選擇最值點.

二、利用由平衡點求φ

圖2

【例2】 （2015·新課標Ⅰ，理8）函數f（x）=cos（ωx+φ）的部分圖像如圖2所示，則f（x）的單調遞減區間為（ ）.

A.（kπ- 1 4

，kπ+ 3 4 ），k∈ Z

B.（2kπ- 1 4 ，2kπ+ 3 4 ），k∈ Z

C.（k- 1 4 ，k+ 3 4 ），k∈ Z

D.（2k- 1 4 ，2k+ 3 4 ），k∈ Z

答案： D.

解析： 先求解析式，再求單調遞減區間.求解析式時，ω由周期確定，φ由平衡點確定.由圖2知， T 2 = 5 4 - 1 4 =1= π ω ，解得：ω=π.

根據余弦函數的圖像知x= 1 4 是第一個平衡點，故 1 4 ω+φ= π 2 ，解得：φ= π 4 .∴f（x）=cos（πx+ π 4 ）.再令2kπ<πx+ π 4 <2kπ+π，k∈ Z ，解得：2k- 1 4

點評： 判斷準確平衡點是代準相位的關鍵.當然，正弦與余弦更不能代錯.

（責任編輯 鐘偉芳）