利用構造函數(shù)法求解不等式問題

張敏

[摘 要] 構造函數(shù)法是一種重要的數(shù)學方法.不等式問題是高考中的熱點和難點.恰當?shù)貥嬙旌瘮?shù)是解決不等式問題的有效途徑.

[關鍵詞] 構造函數(shù)法 不等式

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674 6058（2016）17 0056

構造函數(shù)法是解決不等式問題的有效方法，如何構造函數(shù)顯得尤為重要.下面舉例談談構造函數(shù)法在解不等式問題中的應用.

一、比較函數(shù)值大小

這類題型主要采用從結論入手來構造函數(shù)的方法，即分析結論的結構特點，建立可導的函數(shù)f（x），再利用f（x）的導函數(shù)，判斷函數(shù)的單調性，從而比較出函數(shù)值的大小.

【例1】 若定義在 R 上的函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f′（x），且滿足f′（x）>f（x），則f（2011）與f（2009）e2的大小關系為（ ）.

A.f（2011）>f（2009）e2

B.f（2011）=f（2009）e2

C.f（2011）

D.不能確定

分析： 構造函數(shù)，令F（x）=e-xf（x），則F′（x）=e-xf′（x）-e-xf（x）=

e-x（f′（x）-f（x））>0，∴F（x）

單調遞增，

∴F（2011）>F（2009），即e-2011f（2011）>e-2009f（2009）

，

∴f（2011）>f（2009）e2，故答案為A.

二、求函數(shù)不等式的解集

對于形如f（x）>g（x）（或f（x）

化為f（x）-g（x）>0（或<0），再構造新函數(shù)h（x）=f（x） -g（x），利用h′（x）來求解.

【例2】 定義在 R 上的函數(shù)f（x）滿足：f′（x）>1-

f（x），f（0）=6，f′（x）是f（x）的導函數(shù)，求不等式exf（x）>ex+5（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集.

分析： 由題意可知，不等式為exf（x）-ex-5>0，構造函數(shù)，設g（x）=exf（x）-ex-5，

∴g′（x）=exf（x）+exf′（x）-ex=

ex[f（x）+f′（x）-1]>0，

∴函數(shù)g（x）在定義域上單調遞增.

又∵g（0）=0，

∴g（x）>0的解集為{x|x>0}.

三、求參數(shù)的取值范圍

求函數(shù)不等式中參數(shù)的取值范圍是一類重點、熱點問題.雖然函數(shù)不等式問題有多種解法途徑，但通過分離參數(shù)，可把問題轉化為a>f（x）（或a

【例3】 已知f（x）=lnx-x+a+1，若存在x∈（0，+∞）使得f（x）≥0成立，求a的取值范圍.

分析： 由題意知，當x>0時，

f（x）=lnx-x+a+1≥0，

∴a≥-lnx+x-1.

構造函數(shù)，令g（x）=-lnx+x-1，

則g′（x）=- 1 x +1= x-1 x .

令g′（x）=0，解得：x=1.

∵當0

當x≥1時，g′（x）>0，∴g（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，

∴g（x）min=g（1）=0，

∴a≥g（1）=0.

∴a的取值范圍為[0，+∞）.

四、證明不等式

對于不等式的證明，大部分學生都望而生畏，找不到解決問題的突破口.很多不等式都有函數(shù)的背景，如果能挖掘已知函數(shù)與不等式的關系，根據(jù)所要證明的不等式，恰當?shù)貥嬙旌瘮?shù)，利用函數(shù)的單調性、最值、有界性等，可以達到證明不等式的目的.

【例4】 當x≥1時，x-lnx-1≥0，

求證： 1 2 x2+ax-a≥xlnx+ 1 2 .

證明： 原不等式可化為 1 2 x2+ax-xlnx-a- 1 2 ≥0（x≥1，a≥0）.

構造函數(shù)，令G（x）= 1 2 x2+ax-xlnx-a- 1 2 ，則G′（x）=x+a-lnx-1且G（1）=0.

由題意可知，當x≥1時，x-lnx-1≥0，

則G′（x）=x+a-lnx-1≥x-lnx-1≥0，

∴G（x）在[1，+∞）上單調遞增，

∴G（x）≥G（1）=0，

∴ 1 2 x2+ax-xlnx-a- 1 2 ≥0，故原不等式成立.

可以看出，對于不等式的問題，我們可以通過構造恰當?shù)暮瘮?shù)，使問題迎刃而解.其關鍵是如何構造函數(shù)；構造什么樣的函數(shù).這就要求我們結合函數(shù)的性質和特點，發(fā)展思維，反復總結、提煉構造規(guī)律.比如，對于左右兩邊結構相同（或者可化為左右兩邊結構相同）的不等式，構造函數(shù)f（x），使原不等式成為形如f（a）>f（b）的形式；對于形如f（x）>g（x）的不等式，構造函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）；等等.

（責任編輯 鐘偉芳）