問題表征對數學解題的作用

作者簡介：楊超（1993-），男，四川達州人，教育碩士生，研究方向：數學教育。

摘 要：問題表征是數學問題解決認知活動中一個中心環節，恰當的問題表征是成功解決問題的前提條件。問題表征通常是指解題主體將問題信息與已有知識經驗相聯系，形成問題空間的過程。本文重點探討數式表征、圖形表征對數學解題的作用，以及問題表征能力的培養。

關鍵詞：問題表征；數式表征；圖形表征

中圖分類號：G633文獻標志碼：A文章編號：2095-9214（2016）02-0118-02

1、問題的提出

在現實數學解題過程中，我們常常遇到這樣一種情況，即自己對一個問題“百算不得其解”，并且自身所用解題方法也沒有任何邏輯上的錯誤，而當請教同行時，同行也許很快便完成了問題的解答。究其原因，很大程度上是由于不同的解題者對問題的表征不同，從而導致對問題理解的方向不同，最終形成“百算不得其解”與“迎刃而解”的差別。正如司馬賀說的：“問題表征是問題解決的一個中心環節，如果一個問題得到了恰當的表征，那么這個問題就解決了一半[1]”。喻平在研究數學問題解決模式中，將解題的認知過程分為：問題表征、模式識別、解題遷移、思維監控，其中指出問題表征是解題的前提條件，如果不能恰當的、合適的對問題進行表征，那么便導致模式識別的失敗，就需要重新對問題進行表征。由此可見，問題解決過程中，恰當的問題表征對解題有至關重要的意義。

2、問題表征的內涵

“表征”一詞最早源于認知心理學，即把“信息的記載或表達方式稱為對這種信息的表征”。隨后從二十世紀八十年代，“問題表征”開始備受關注，并且在數學領域中的數學問題表征的研究也日趨豐富。Simnon（1986）認為問題表征包括信息和信息的加工；Goldin（2001）認為問題表征是一種映射；喻平（2003）認為問題表征即個體將外部信息轉化為內部信息，形成為題空間，包括明確問題給定的條件、目標和允許的操作[2]。此外，問題表征按照不同分類標準可以有多種不同問題表征方式，例如Krutetskii（1976）按照數學信息加工方式的不同，把問題表征分為語言化表征、形象化表征、混合型表征；紀桂萍（1996）從心理表征方面將問題表征分為形象表征和抽象表征；Dixon和Moore（1997）在研究直覺表征對問題解決中數學策略選擇的影響時，提出了原理表征和綜合表征等。而數學是一門關于數量關系和空間形式的學科，那么在問題解決過程中，任何問題的表征都可以看作是由數學符號組成的數式表征和幾何圖形組成的圖形表征，這種問題表征的分類已有了大量的研究。上述Krutetskii（1976）的分類中形象化表征即在解題中偏愛運用視覺形象表征問題，這種視覺形象便包括數學符號、幾何圖形等。紀桂萍（1996）所提到的形象表征即對材料、圖畫、語音、符號的表征，抽象表征是對概念、命題、定理的表征，由此可以發現，數式表征、圖形表征分別對應抽象表征、形象化表征；徐明（2002）將問題表征分為文字表征、數式表征、圖式表征、模型表征，其中指出數式表征即體現數學特點的術語，例如代數式、方程、集合等，圖表表征即圖形表征與表格；徐厚生、華方（2004）將數學問題表征分為文字表征、圖形表征、圖示表征，他們指出其中的圖式表現為數量關系，圖形表現為幾何關系。

綜合各研究者的結果，我們可以發現，問題表征對數學問題的理解有重要促進作用，它是運用已有知識經驗對問題信息的積極理解，并溝通“已有知識經驗”與“問題信息”的聯系形成問題空間。并且問題表征具有明顯的三個特點：主動性，即問題表征是解題者對數學問題能動理解；認知性，即問題表征是一種高級的思維過程，是一種認知過程，并且這個認知過程需要解題者已有知識經驗的積極參與；概括性，即任何數學問題經過恰當的問題表征，都會在解題者頭腦中形成獨特的問題空間，這個問題空間會大大簡化原數學問題的復雜程度，有助于問題的成功解決。由此，我們可以將問題表征理解為：解題主體將問題信息與已有知識經驗相聯系，形成問題空間的過程。

此外，問題表征可以分為不同的類型，但對數學解題而言，由數學符號組成的數式表征和幾何圖形組成的圖形表征對解題是最重要的兩個方面。研究也表明，恰當的問題表征是解決問題的必要前提，在錯誤的或者不完整的問題空間進行搜索，不可能求得問題的正確結果[3]。

3、問題表征對解題的作用

我們已經將數學問題表征分數式表征和圖形表征，并且這兩種表征方式在解題中有重要作用，下面就以一則案例進行詳細闡述。

例：已知x，y，z∈R+，并且x+y+z=1，則函數f（x，y，z）= x2+xy+y2+y2+yz+z2+z2+zx+x2的最小值為

分析問題：考察的是不等式最值問題，題目所給條件和問題有一定的結構特征，可預測當且僅當x=y=z=13時取得最小值，則只需要證明這種形式 + + ≥3，則重點在畫整體為局部，推測≥33成立（當x→0，y→0，z→1時不等式不成立），進而轉化為x2+xy+y2≥x+y（經驗證此不等式也錯誤），再次轉化為x2+xy+y2≥32（x+y），此時問題似乎可以解決了。

思路一：著眼于數量關系，將x，y，z僅看做是代數，則重點在于對根式的變形化歸，則關鍵步驟為x2+xy+y2=（x+y）2-xy≥（x+y）2-（x+y2）2。

思路二：著眼于幾何圖形，由于題目給的是數量關系的不等式，要轉化為圖形關系，則需要溝通“數量關系形式”與“幾何圖形定理”的聯系。在觀察根式下代數式的結構形式，較容易聯系到余弦定理，則其中的關鍵步驟為x2+xy+y2=x2+y2-2xycos1200，進而題目的問題轉化為三角形兩邊之和大于第三邊（需要做一個三棱錐，其中三條棱分別設為x，y，z，且三條棱兩兩夾角為1200，此圖略）。

思路三：在上述著眼數量關系的變形中，發現平方關系，由此在著眼數量關系中還聯想到向量的模，于是又找到一種新的求解方法，其中關鍵步驟為（x+y）2-xy=（x+y2）2+（32y）2==（x+y2），32y，再有++≥++即可。

綜上，問題的解決，一般都可以通過著眼于數量關系和圖形關系得到很好地解決，并且在分別著眼數量關系或者幾何關系時，兩者還可以在問題解決過程中不斷轉化。需要注意的是，數式表征通常比較簡潔、準確，具有嚴格的邏輯推理；圖形表征比較直觀，能輔助解題，即使有時不能直接得出結果，但可以誘發思路幫助解題。

4、問題表征能力的培養

（1）形成良好的知識結構體系。無論任何問題的理解、表征，都是依賴于解題者具備良好的知識結構體系，這種知識結構體系就需要對某個問題所涉及的知識概念、定理、公式的掌握，并且對這些知識能夠靈活記憶、隨時提取，即良好的認知結構；此外，良好的知識結構體系還包括解題者曾經的解題經驗、解題記憶、推理方法等，只有這樣在遇到新的問題時，才能對問題準確、快速的表征，正如笛卡爾曾經說到：“我所解決的每一個問題，都將成為范例，這些范例可有助于其他問題的解決”。上訴案例中，解題者也必須熟悉不等式相關知識，代數式運算，余弦定理，向量等有關知識，才能對問題準確、快速的表征以及之后的操作。

（2）保持嚴密的思維監控。喻平將數學解題的認知過程分為問題表征、模式識別、解題遷移和解題監控，于文華進一步剖析了它們之間的關系：問題表征是模式識別的基礎，模式識別是解題遷移的前提，解題監控貫穿著整個解題過程，且作用于整個認知過程[4]。很顯然，喻平肯定了思維監控對整個解題的促進作用。事實上，數學思維監控就是解題者對整個數學思維活動的審視、分析、不斷改進和調整的認知過程，在這個過程中，嚴密的思維監控可以幫助解題者進行一種自我提示，如：問題條件是否考慮完了，這樣做可行嗎等。所以，保持嚴密的思維監控，將會使解題者全面的考慮問題。

（3）進行問題外在表征的專門訓練。前面我們已經將問題表征分為數式表征和圖形表征，那么有必要專門進行這兩種表征的訓練。事實上研究表明，學生問題解決不出的關鍵常常是在表征問題時不能有效的在各種表征方式之間進行轉換[5]。因此，在實際解題中，首先應該明白問題表征對解題的重要性，就需要養成先仔細審題的習慣，弄清題意后在制定解題計劃，即通常所說“磨刀不誤砍柴工”的道理；其次，在表征問題時，因盡可能的從數式表征、圖形表征兩方面思考問題，甚至可以嘗試在這兩種表征之間進行轉換，達到對問題多方面多角度思考，例如上訴案例中，著眼代數式而重點指向代數式變形，著眼圖形特征重點在找符合代數式形式的幾何定理、公式等，最后一種思路則發生于代數式變形中找到了與幾何關系聯系的向量、三角不等式等；最后，可以用發聲思維對腦海中的各種思路進行逐一檢驗，發現其合理性與不合理性，及時進行取舍。

總之，問題表征在數學問題解決中具有重要促進作用，同時是優化解題活動和追求數學問題普遍化的重要手段，同時它也可以作為一種好的學習習慣，對改善學生的學習方式，優化學生的數學思維結構等有促進作用，應該在日常數學學習中引起重視。

（作者單位：西華師范大學數學與信息學院）