聚焦學習起來，凸現“面”的二維特征

劉善娜

“認識面積”是人教版三年級下冊“面積和面積單位”單元的起始課。本節課的相關研究甚多，學生的障礙皆有共識——周長和面積概念的混淆。為了幫助學生消除這一障礙，一般借助“看一看”“摸一摸”“涂一涂”“比一比”等操作活動來助力學生掌握面積概念。但是，經歷了這些活動的學生，為什么在后續學習中仍然會出現周長與面積概念的混淆呢？是不是我們仍然沒有尋找到學生出現概念混淆的根本原因？

面對一個長方形桌面，人的感官先感知到的應該是二維的面。但學生是先學一維的周長，這一感官認知的順序錯位是不是會對二維的面產生影響？從周長概念到面積概念，是一維到二維的遞升，學生在這個過程中真正的困難是什么？基于這樣的思慮，筆者和團隊教師一起對寧波地區10個學校共1670名學生進行了大數據的訪談、問卷和操作前測，確定學生的學習起點如下：

知識起點：學生對直觀的“長短”、“大小”能清楚辨析，91.4%的學生能理解數學書的封面比練習本的封面大，75%的學生能認識到封閉圖形才有大小，表明學生對“面積”的含義有一定的感悟。

經驗起點：“面”和“面積”是不同的概念，學生眼里“面”比“面積”更抽象，只有26.9%的學生能描述 “什么是面”，卻有37.7%的學生能描述“什么是面積”。摸“面”時只是“點一點”的學生，經由追問則發現他們并不認為“面”就是這個點，大意就是指“一個區域”——指認操作盡管不完整，本質上的認知卻沒有偏差。但學生在摸面與周長后用自己的語言表述 “面在哪里，周長在哪里”的時候，有72%的學生表達的意思是“周長就是靠在外面的部分，面就是在里面的部分”。

情感態度起點：在說說你對“面”和“面積”的認識時，學生把與“面”和“面積”相關的知識經驗都予以了暴露，但僅有0.6%的學生摸了曲面，72.9%的學生摸了長方形的面，說明“長方形的面”心理接納性最強。

可以發現，有大部分學生認為周長屬于表面的“外面”一部分，面積屬于表面的“里面”一部分，可見學生無法感知到兩者之間一維、二維的差異，并由此生成了周長和面積混淆的根源。從抽象的一維到二維，對學生而言是一次認知飛躍。如何讓學生自發地感悟兩維的差異，順利地從一維走到二維，就成了這一課教學需要解決的根本問題。

一、 “面”不離體，初悟“面”的二維性

（一）摸各類面，感受“規則物體—不規則物體”的“面”的共性

物體的表面是一個二維的圖形，學生能直觀地感覺到它所占的區域具有一定的大小，能發現不同書面的大小之分，會比較“黑板面比桌面大”。但是要回答什么是“面”的問題，他們又無法應答，因為他們的認識是零散的、模糊的、感性的，需要一個全面、體驗、抽象的過程。

所以，課堂上教師還需準備含曲面的物體和不規則形物體。先放手讓學生摸課桌上的面，發現“面”有水平的平平的，也有豎起來的平平的，有大也有小，就有利于突破“面”的水平固像，然后再讓學生感知曲面。在經歷了這一系列的摸面活動后，讓學生用自己的話說說什么是“面”。

生：我覺得面就是物體的表面，物體最上面的一層，有平的也有凹凹凸凸的。

生：我覺得面就像是物體最外面的衣服，像我們人的皮膚。

生：有各種各樣形狀的面，“面”把物體裹起來了。

生：面有大有小，有圓有方。

生：面是這樣摸過去整塊整塊的。

生：面有長方形、正方形、圓形等各種各樣的形狀。

因為學生對“面”的認知通常經由對身邊常見物體表面的“摸一摸”形成，因此，要盡可能地提供豐富的直觀材料突破一些位置上、形狀上的認知局限，避免產生“面是水平的”“面是方形的”等片面認識，發現面共有的特征。

（二）蒙眼摸面，感受“橫向到邊—縱向到底”的面的二維特征

在教師沒有指導之前，學生摸面基本都是用手指點一點，那么如何讓學生自發地經由規范的摸面來表達自己指的是“一個區域”的本意從而跨向二維？如果把學生的“直觀感覺”蒙起來，讓學生主動要求“我想把面摸完整”，那么學生就能更好地感知“體—面—線”的內在序列，感受面的二維性。

師：認識它們嗎？（師出示：

生：長方體、正方體。

師：它們身上的面是什么形狀，看清了？如果把你的眼睛蒙起來，讓你摸一個面，你能猜出摸的是哪個立體圖形嗎？摸的次數要盡可能少哦。誰來試試？其余同學也有任務，要看清記住他是怎么摸的，摸了幾次。（學生一只手摸面）

生：（摸兩次）我知道了，是長方體。

師：摸了兩次，成功了。我們把他摸的痕跡表示出來。還有不同的摸法嗎？請這一桌同學上來，一個摸一個表示出摸的痕跡。 師：剛才第一位同學是橫著摸豎著摸，第二位同學是橫著摸了兩次，我們仔細觀察他們摸面的痕跡，雖然摸法不同，但是他們都摸出長方形的什么？

生：這樣摸，摸出了長方形的長和寬。

生：橫著摸兩次，長摸出來了，寬第一次摸出一大半，第二次摸出一小半，寬也摸出來了。

師：說得真有意思，第一次寬摸出了一大半，這個時候確定了哪一部分面的大小？（淡色部分）第二次寬摸出了一小半，就確定了哪一部分的大小？（深色部分）兩次摸的面加起來，就確定了整個面的大小。

學生原本總是難以規范地摸出整個“二維”的面，常在內部畫了個圈就算摸完，這是因為他在視覺上已經看到了整個面。現在蒙眼摸，學生為了感知的準確性就自發地從長、寬二維去摸，主動地從一維走向了二維。教師再結合摸“面”的過程幫助學生對長、寬進行度量刻畫，初步感受面積的可加性，對面的二維性形成更清晰的認識。

二、 貫通三維，體會“面”的二維性

目之所及一個物體，應該是先看見整個“體”再看見“面”最后才是“線”，可是學生是先測量周長，再測量面積，最后測量體積，因為一維、二維、三維，測量難度逐步遞增。認識“面”的大小，是從一維測量拓展到二維測量的飛躍，可以借助學生的視覺經驗，去貫通一維、二維、三維。

（一）體上摸出面，體上摹出面——從三維到二維

面不離體，面可以從體上抽象出來。學生感受這樣一個過程，既能體會到面與體之間的聯系與區別，也有利于學生更好地理解“面”有別于“體”的二維特征。

師：你能不能想一個辦法，讓一個“面”走到我們的紙上來呢？

（學生拓、印面，展示交流作品“圓形”“硬幣拓印圓面”“長方形”“三角形”“正方形”，分別猜猜說說這個“面”來自什么物體）

師：“面”可以在物體的表面，也可以是這樣的平面圖形。

（二）線圍出面積，線沒圍出面積——從一維到二維

物體的表面在客觀上都可以視作一個有周界的“封閉”圖形，所以在講平面圖形時要借助“封閉”讓學生正確理解面積的含義：面積是對一個二維圖形的表面進行度量的結果，如果“表面”無法確定，那么就無法度量，也就沒有面積。

師：現在屏幕上有根線，長為30厘米。我用這根線圍出一些平面圖形，它們有面積嗎？請用黃色表示出它們的面積。

師：都認為第4個圖形沒有面積？你們是怎么想的？如果我想涂呢？（拿筆在實物投影上涂）

生：那就能一直涂下去了。

生：到底能涂多大的面積，根本不能確定，涂也涂不完。

生：只有封閉圖形才有確定的大小，才能涂完。

師：好，那你們就在已經涂出面積的封閉圖形上用紅色筆涂出周長，再分別摸一摸面積、指一指周長給同桌看。現在你覺得周長、面積有什么不同？

生：周長是一周的長度，面積是里面的大小。

生：周長在外面，面積在里面。

生：周長都是30厘米，面積大小各不相同。

師：周長是長度，是測量圖形一周得到的具體長度，這里是30厘米。而面積是整個面的大小。

課件直觀展示：

突出周長是一維測量的結果，是測量封閉圖形外面一周得到的長度，糾正學生腦海中“周長是面的一部分”“周長是面的外面部分”的一維二維混淆的根源性偏差。而用一維的線圍成二維的面，在封閉圖形中抽取出一維的周長和二維的面積，都能加深學生對周長和面積的維度感悟，對兩個概念的本質會有更深的理解。

三、 度量成積，理解“面”的二維性

人教版教材添加了“面積守恒”的知識點，并不僅僅是為了感知面積的大小“不變”，而是在“可加可減”的測量中認識到面積的測量本質。而在“面積”概念的學習過程中，感受面積與周長的度量差異也有助于凸顯兩個概念之間的區別。

（一）借格子圖測量，利用大小的“塊狀測量”感受面的二維特征

在“認識面積”一課的教學中，對于面積大小的比較，更多的只是直觀視覺上的判斷或是直接的比較，如果借用格子圖，既能為測量打下基礎，也能讓學生“一塊一塊”地數出面積，即從二維的角度用簡單的數據來表述面的大小，從而進一步理解面積的含義。

師出示右圖：

師：周長都是30厘米，面積大小各不相同，它們的面積會是多少呢？正方形的面積有多大？和幾個格子一樣大？你是怎么看出來的？能上來數一數嗎？

師：嗯，正方形的面積=9個格子的大小。那么，誰的面積比9個格子的面積大？誰比9個格子的面積小？這兩個圖形（師出示左圖）也想和長方形比面積，誰的面積大呢？和同桌說一說你是怎么想的。

一開始，課件上的正方形上并沒有格子線，要知道它有幾個格子那么大，對一部分學生來說是有挑戰的。因此在一部分學生表達自己的觀點后，隨即出現格子線進行輔助，使全部學生都能看出兩個圖形的大小。學生計數表述的過程，就是一個簡單的測量過程。而面積相同、形狀不同的圖形的比較，則是讓學生在計數測量的同時，感受面積作為二維測量的結果是可加可減的，可以“塊狀”地分割累計。

（二）借釘子板拉伸，利用矩形的“二維擴張”理解面的變化要素

學生后續要學習的平面圖形的面積計算，都會比較明顯地涉及面積的二維特性，那么在初始學習階段就可以借助直觀圖像讓學生對面積“變化”有更清晰的認識，同時對面積變化的二維特性有更深的理解。

師：現在老師在釘子板上圍出這樣的一個長方形（出示3×2的長方形），這個長方形的面積有多少個格子這么大？

師：現在要使這個長方形的面積變大，你有哪些方法？（作品反饋）

生：可以把橡皮筋往右拉，面積就大了。

師：往右拉，長方形的什么變長了？

生：長方形的長從3格變成4格了，變長了，往左拉也可以。

師：這時增加的面是哪一部分？什么形狀？有多大？（）請同學上來指一指。

生：增加的部分是一個長是1，寬還是2的長方形。

師：非常好。下一個同學能不能也這樣來說說你是怎么做的，面積大在哪兒？

生：我是長不變，寬拉大了。增加的面積也是一個長方形。

生：我是把長方形的長和寬都變長。增加的面積可以看作是兩個長方形。

生：我也是把長和寬變長，長方形面積變大了，變大的部分可以看作是4個長方形。

借助彩色皮筋在釘子板上的簡易操作，面積從“不變”走向“變化”。結合課件的直觀展示，抓住“面積增加在哪里”，讓學生認識到“一個維度變化另一個維度不變（長變寬不變）、兩個維度變化，增加的都是能確定二維的面”，使學生清楚地認識到面積變化的二維特性。

要讓學生認識到周長和面積都是度量的結果，它們之間有聯系又有區別，要讓學生對面的二維性形成深刻的認知，認識到面積是二維度量的結果，就必須充分去了解學生的學習起點，尋找到學生出現概念混淆的根本原因，從而幫助學生從“一維周長和二維面積都是面的一部分”的認知誤區中走出來，引導學生從一維走向二維。

參考文獻：

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