導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用分類解析

朵天舉

摘 要：導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用是各級(jí)各類考試考查的熱點(diǎn)之一，本文將從具體的實(shí)例出發(fā)，分析并介紹高考中常見的題型，找出一般的解題策略與技巧。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)的幾何意義；應(yīng)用；分析

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)：1992-7711（2016）06-001-01

導(dǎo)數(shù)的幾何意義是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，也是每年高考的必考內(nèi)容。利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決的問題較多，歸納起來常見的類型有：（1）求切線方程及切點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求參數(shù)的值；（3）其它的綜合問題。下面就導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用進(jìn)行分類解析。

類型一：求切線方程及切點(diǎn)坐標(biāo)

問題1. 已知函數(shù)f（x）=ax2-x2，其中a∈R。當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）的在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程。

解析：求曲線的方程，要看已知的點(diǎn)是否為切點(diǎn)。這里的點(diǎn)（1，f（1））顯然是切點(diǎn)。

當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x2-x2，因此f（1）=，切點(diǎn)為（1，），又 f'（x）=2x2-x+1，故k=f'（1）=2+1-1=2，曲線f（x）在點(diǎn)（1，）處的切線方程為y-=2（x-1）：，可得12x-6y-5=0.

問題2.（已知切線過某點(diǎn)求曲線的切線方程）

已知曲線C：y=x3-3x2+2x，直線l過（0，0）與曲線C相切，求直線l的方程.

解析：由題意知切線過原點(diǎn)，但原點(diǎn)不一定是切點(diǎn)。故先設(shè)切點(diǎn)，再求解。

設(shè)切線為y=kx，切點(diǎn)為（x0.y0）則y0=kx0.................①

由點(diǎn)（x0，y0）在曲線C上，則y0=x03-3x02+2x0.................②

又y'=3x2-6x+2，則k=3x02-6x0+2.................③

∴由①、②、③得x0=0或x0=-

∴切點(diǎn)為（0，2）或（ ，- ）.

∴當(dāng)切點(diǎn)為（0，2）時(shí)，直線l的方程為y=2x；當(dāng)切點(diǎn)為（ ，- ）.時(shí)，直線的方程為y=-x.

點(diǎn)評(píng)：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程時(shí)，學(xué)生往往忽視已知點(diǎn)是否為切點(diǎn)，而造成錯(cuò)誤。要分清在點(diǎn)p處的切線與過p點(diǎn)的切線的不同。曲線y=f（x）在點(diǎn)p（x0.y0）處的切線是指p為切點(diǎn)；曲線y=f（x）過點(diǎn)p（x0.y0）的切線是指切線經(jīng)過點(diǎn)。

類型二：求參數(shù)的值

問題3： 已知直線y=x+1與曲線y=In（x+a）相切，求a的值.

解析：設(shè)出切點(diǎn)后再求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解。

設(shè)直線y=x+1與曲線y=In（x+a）的切點(diǎn)為（x0，y0），將點(diǎn)（x0，y0）代入直線與曲線方程得y0=x0+1，y0=In（x0+a） ∵y'=，y'x-x0==1， ∴x0+a=1， ∴y0=0 ，x0=1 ∴a=2.

點(diǎn)評(píng)：高考中常考查“已知曲線的切線求參數(shù)”問題，這類問題有可能出現(xiàn)在小題中，也有可能出現(xiàn)在解答題第一問。該類問題綜合考查函數(shù)解析式的求解、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、直線方程的求解、及其方程組的解法。解決這類問題的關(guān)鍵是建立函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)與斜率的關(guān)系，其實(shí)質(zhì)是導(dǎo)數(shù)幾何意義的逆用。

類型三：其他綜合問題

問題4 ：如果y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖像是開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-）的二次函數(shù)，求曲線y=f（x）上任一點(diǎn)的切線的傾斜角α的取值范圍.

解析：求曲線y=f（x）上任一點(diǎn)的切線的傾斜角α的取值范圍，先求切線的斜率范圍。

設(shè)曲線y=f（x）上任一點(diǎn)P（x0，y0），在該點(diǎn)的切線斜率為k，因?yàn)閥=f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）的圖像是開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)（1，-）為的二次函數(shù)，∴f'（x）≥-。由此f'（x0）≥-，k≥-。由正切函數(shù)的圖像可知傾斜角α的取值范圍是[0，）∪[，π）.

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查導(dǎo)函數(shù)的概念、二次函數(shù)的圖像及值域、導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系、三角函數(shù)的圖像、直線的傾斜角與斜率的關(guān)系。解決綜合性問題的關(guān)鍵是理清思路，將復(fù)雜的問題分解成小問題，逐個(gè)擊破。

問題5 ：已知函數(shù)fn（x）=xn+1，n∈N*的圖象與直線x=1交于點(diǎn)P，若圖象在點(diǎn)P處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn，求log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012的值.

解析：求log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012的值，即求x1x2x3…x2011x2012的積，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求xn.由fn'（x）=（n+1）xn，曲線fn（x）=xn+1在點(diǎn)P（1，1）處的切線斜率k=n+1，故在x=1處的切線方程為y-1=（n+1（x-1）），

令y=0得xn=，所以x1x2x3…x2011x2012=××…××=.

故log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012=log20132013-1=-1.

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程及對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式的應(yīng)用。

綜上所述，導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用比較廣泛，但從高考的命題動(dòng)向看，主要考查以上三方面的應(yīng)用。解決此類問題的關(guān)鍵是抓住函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于曲線在該點(diǎn)的切線斜率；另一方面還要抓住題目的關(guān)鍵和本質(zhì)所在，將復(fù)雜問題分解成多個(gè)小問題，不能解決的問題轉(zhuǎn)化為已知問題。