使用分兩階段編排的幾何教材教學中存在的一個認知障礙的突破方法

代建偉 胡永斌

【摘要】 師生在使用實驗版北師大教材的幾何內容的過程中，混淆了“已經學過的命題”和“已經證明的命題（定理或推論）”，把“已經學過的命題，但是沒有證明”誤當作“已經證明的定理”用來作為證明其他定理的依據. 這種障礙的突破主要在認識上要明確，方法上要恰當，不能不管不問，也不能急于求成.

【關鍵詞】 實驗版北師大教材；認知障礙；三角形中位線定理

【注】 甘肅省教育科學“十二五”規劃課題“北師大版實驗教材與修訂版教材中三形中位線定理編排的對比研究”階段成果，課題批準號：GS[2014]GHB0719

實驗版北師大教材中幾何內容大體上分兩階段編排，筆者發現學生在學習的過程中存在一個認知障礙：受第一階段學習內容的干擾，混淆了“已經學過的命題”和“已經證明的命題（定理或推論）”，把“已經學過的命題，但是沒有證明”誤當作“已經證明的定理”用來作為證明其他定理的依據. 這種問題集中表現在三角形的中位線定理的證明上，學生在證明定理的過程中由圖形馬上聯想到的是相似三角形的知識，于是用三角形相似的知識證明三角形中位線定理，北師大版教材在修訂后編排體系做了調整，三角形中位線定理的證明教學中不會再出現這樣的現象，降低了教學的難度，但是修訂教材中幾何內容還是有一部分兩階段編排，第一階段學習的內容同樣會干擾第二階段的學習，會出現同樣的問題. 通過搜集整理相關資料，研究了北師大版實驗教材中幾何內容的編排體系，并且從這個編排體系中探討了學生在證明三角形中位線定理存在的認知障礙；對比研究了兩種教材中與三角形中位線定理有關的內容的編排以及對學生認知的影響；從數學史的角度研究了數學證明，探討了三角形中位線定理的證明，得出了解決這一類問題的一些措施.

1. 認真研究教材的體系

北師大版實驗教材相對傳統的幾何教材變化比較大，傳統的幾何教材采取“直線式編排”，即學過的幾何知識也就是證明了的定理，幾乎不存在北師大版教材“已經學過的命題，但是沒有證明”的現象，而且我們大多數老師在上初中的時候使用的就是這種教材，在使用北師大版實驗教材的過程中有些老師對這種編排體系有些排斥心理.

不管使用哪一種教材，在備課的時候都要認真研究教材的編排體系，在使用北師大版實驗教材的時候如果能夠整體研究這個教材體系，就能發現在幾何內容的學習過程中會出現“學而不能用的現象”.

2. 對“學而不能用的現象”的認識

北師大版實驗教材中在第一階段所學的幾何知識在第二階段定理證明的過程中不能直接應用，有些學生和教師對此感到比較困惑.

其實“學而不能用的現象”我們在初中已經遇見過，并且我們在高中也會遇到. 在小學，學生一般用算數方法解應用題，到了初中為了學習并應用一元一次方程和方程組解應用題，不讓學生用算數方法來解；在初中，學生研究函數的增減性的時候，是借助函數的圖像直觀觀察得到的，到了高中，我們也用直觀的方法，但是在證明函數的單調性的時候，用的是函數單調性的定義來證明的，不能用直觀觀察的方法. 算數和方程是兩種不同的方法，直觀探究和嚴格的邏輯證明也是兩種不同的方法，我們在正確認識這種現象的基礎上，引導學生在類比中認識和區別這兩種方法.

3. 簡單了解歐幾里得編寫的《幾何原本》中幾何部分的學習過程和思維過程

當提到歐氏幾何時，教師給學生介紹《幾何原本》的公理化思想多一些，但是往往忽視歐幾里得編寫《幾何原本》的知識背景，在歐幾里得編寫《幾何原本》之前，古埃及已經積累了大量直觀的、實驗的、經驗的幾何知識，北師大版實驗教材在第一階段編排的直觀探索階段的內容也就是想在中學課本中“還原”這段歷史，歐幾里得確確實實經歷過這個階段，并且在這一階段學習的內容還要比北師大版實驗教材中第一階段編排的內容還要多得多.

歐幾里得在編寫《幾何原本》的過程中，已經具備了大量的“已經學過，但還在其著作中沒有證明的命題”，也應當像我們的學生一樣受到已學知識的干擾，但是這種干擾沒有難倒歐幾里得，能分辨出并且能合理應用. 學生和歐幾里得之間的差別是多方面的，但是在工作記憶方面就是 “新手和專家”的區別，歐幾里得在工作記憶中激活的是“組塊的知識”，而我們的學生在工作記憶中激活的是“零碎的知識”. 因此在教學的過程中要幫助學生完善認知結構，使所學知識結構化. 4. 簡要畫出定理的邏輯關系圖

蘇教版對幾何內容的編排和北師大版的編排體系有相同之處，也是分兩個階段進行編排，筆者感覺到有一點非常值得借鑒，在“圖形與證明（一）”和“圖形與證明（二）”中的“小結與思考”中都畫出了命題的邏輯關系圖，

其實我們在教學的過程中可以邊學邊畫這種關系圖，讓學生“看得見”定理之間的邏輯關系，“看得見”哪些命題已經證明了現在是定理，哪些還沒有證明不能作為定理用，減輕了學生工作記憶的負擔.

5. 合理利用一個問題串反復強調定理證明的基本規則

教材在第二階段建立了一個不太嚴謹的邏輯體系，證明每一個定理的依據是：公理、定義、已經證明了的命題. 在學習這個知識的時候學生似乎能夠學懂，但是在應用的過程中不能達到“自動化”地想到，甚至不去想. 在證明定理的過程中，當學生存在困惑的時候，要反復結合邏輯關系圖提問：“我們依據的是什么？我們所依據的命題證明了沒有？”通過這個問題串，幫組學生辨別哪些命題是已經學過的但是現在還沒有證明，幫助學生檢驗在證明定理的過程中是否用了“不該用的命題”，引導學生逐步理解證明定理的規則，引導學生在證明的過程中用這個問題串自覺的自我提問并檢驗自己的證明過程是否用了“不該用的命題”，通過訓練形成一種技能，實現“自動化”.

我們在教學過程中這種現象可能會反復出現，我們要幫助學生并發揮學生的主動性，讓學生能夠根據自己的學習經驗發現錯誤，尋找原因，及時糾錯.