獨立學院高等數學教學中例題的選擇

楊芳

【摘 要】 本文從獨立學院高等數學的教學目標和教學實踐出發，探討了針對獨立學院高等數學教學應該如何選擇例題. 即例題的選擇應具有啟發性，難度有梯度性，要與學生所學專業，與數學建模相結合，從而進一步提高學生綜合解決實際問題的能力和創新能力，體現獨立學院的辦學特色.

【關鍵詞】 獨立學院；高等數學；例題的選擇；能力培養；探討

高等數學是理工科院校學生的一門必修的公共基礎課，高等數學教學的好壞直接影響到學生后續課程的學習. 但是作為獨立院校，其人才培養目標是應用型本科人才，這就意味著作為基礎課的高等數學理論學時的減少. 要在有限的學時內完成高等數學課程的教學，同時還要突出應用型的特色，除了對課程內容進行優化調整，例題的選取也顯得尤其重要.

本文結合獨立學院的實際，從高等數學課程教學的基本目標任務出發，就如何結合數學教學，培養學生解決實際問題的意識和能力，而精心選擇例題做了探討.

一、例題的選擇要有啟發性

在講授新知識時，通過選取合適的例題，啟發學生利用已學知識解決問題，進而導出新的知識概念，完成由舊到新的過渡. 這種啟發式的教學既能使學生加深對新知識的理解，也能使學生將原有知識與新知識很好的統一起來，培養學生主動思考的能力和學習興趣.

例如，在講授利用極坐標計算二重積分時，學生已經掌握了利用直角坐標計算二重積分的方法，此時可通過已有知識導入新的問題.

例1 計算二重積分edσ，其中D是由中心在原點，半徑為a的圓周所圍成的閉區域.

本題學生利用已經掌握的直角坐標計算二重積分的方法可以完成由二重積分到二次積分的轉化，但是由于被積函數的原函數不是初等函數，故本題無法利用直角坐標計算. 遇到了困難，學生就會主動思考新的方法，此時教師通過分析很自然地引入極坐標，學生的學習興趣和注意力被吸引.

二、例題的難度有梯度性

通過設置由淺入深，逐層遞進的例題，啟發學生的解題思路，培養學生的創造思維能力和發散思維能力，提高學生的解題能力.

例如在不定積分的教學中，可設置例題：

例2 求下列不定積分

（1）dx （2）dx （3）dx

（4） dx （5）dx

分析：（1）是非常簡單的積分問題，運用積分公式，便可求得結果. 在此基礎上我們進行了拓展、引申，得到問題（2）-（5），啟發學生進行聯想，探究問題的內在聯系及區別，激發學生解決問題的欲望和興趣.

三、例題的選擇要融于學生所學的專業

高等數學的教學其目的是通過學習，奠定必要的數學基礎，為學習后續課程做鋪墊. 因此在例題的選取上應考慮專業課程的需要，適當刪減教學內容，增強例題的應用性、針對性，這就對教師提出了更高的要求.

例如，在給通信工程等專業的學生講授方向導數和梯度的概念時，可通過這樣的一個例子引入.

例3 設有一座小山，取它的底面所在的平面為xoy坐標面，其底部所占的閉區域D = {（x，y）|x2 + y2 - xy ≤ 75}，小山的高度函數為h = f（x，y） = 75 - x2 - y2 + xy

現欲利用此小山開展攀巖活動，為此需要在山腳找一上山坡度最大的點作為攀巖的起點，試確定攀巖起點的位置.

教師可引導學生從感性認識“坡度”，抽象出“方向導數”的概念，從“最大坡度方向”即方向導數最大的方向抽象出“梯度”的概念. 當學生很好地理解了方向導數及梯度概念時，這個問題就容易解決了.

四、例題的設計要與數學建模相結合

在例題的設計中，將數學建模引入數學教學中. 例如：在講授微分方程的概念和可分離變量的微分方程的解法時，給出如下問題.

例4 2003年春天來歷不明的SARS病毒突襲人間，給人們的生命財產帶來極大的危害；2005年禽流感也給人類帶來了威脅. 長期以來，人們擔心當為數不多的傳染者分配到能夠感染的人群中時，隨著時間的推移，疾病是否會蔓延，最終有多少人會被傳染，應采取怎樣的防御措施？

這是數學建模中典型的傳染病問題. 對于沒有接觸過數學建模的大一學生，很少會想到將它和今天所學的數學知識聯系起來，于是興趣一下子被調動起來.

假設每天每個病人有效接觸的人數為常數λ，時刻t的病人人數為i（t），i（0） = i0是初始時刻的病人人數，考察t到t + Δt時間段內病人人數的增加量，有i（t + Δt）-i（t） = λi（t）Δt，于是得微分方程 = λi（t），i（0） = i0，這是一個可分離變量的微分方程，其解為i（t） = i0eλt

結果表明，隨著t的增加，病人人數i（t）無限增長，并趨于無窮大，這顯然是不符合實際的. 問題在于假設不合理. 因此模型需要改進.

通過例題4的設計，學生體會到數學離我們并不遙遠，利用數學知識可以解決實際問題. 既加深了學生對微分方程的理解，也在教學中滲透了數學建模的思想. 本題最后提出了改進的方向，也是激發學生課后獨立學習，自主探究的一種有效的方法.

結束語

總之，在高等數學的教學中，應該重視數學的例題選用，注重培養學生的數學能力和創新思維能力，以及應用數學方法解決實際問題的能力. 例題的設計要體現獨立學院“以實用為目的，以必須夠用為度”的原則. 體現“聯系實際，深化概念，注重應用，提高素質”的特色. 科學選用例題，提高教學質量.