獨(dú)立學(xué)院高等數(shù)學(xué)教學(xué)中例題的選擇

楊芳

【摘 要】 本文從獨(dú)立學(xué)院高等數(shù)學(xué)的教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)實(shí)踐出發(fā)，探討了針對(duì)獨(dú)立學(xué)院高等數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該如何選擇例題. 即例題的選擇應(yīng)具有啟發(fā)性，難度有梯度性，要與學(xué)生所學(xué)專業(yè)，與數(shù)學(xué)建模相結(jié)合，從而進(jìn)一步提高學(xué)生綜合解決實(shí)際問(wèn)題的能力和創(chuàng)新能力，體現(xiàn)獨(dú)立學(xué)院的辦學(xué)特色.

【關(guān)鍵詞】 獨(dú)立學(xué)院；高等數(shù)學(xué)；例題的選擇；能力培養(yǎng)；探討

高等數(shù)學(xué)是理工科院校學(xué)生的一門(mén)必修的公共基礎(chǔ)課，高等數(shù)學(xué)教學(xué)的好壞直接影響到學(xué)生后續(xù)課程的學(xué)習(xí). 但是作為獨(dú)立院校，其人才培養(yǎng)目標(biāo)是應(yīng)用型本科人才，這就意味著作為基礎(chǔ)課的高等數(shù)學(xué)理論學(xué)時(shí)的減少. 要在有限的學(xué)時(shí)內(nèi)完成高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)，同時(shí)還要突出應(yīng)用型的特色，除了對(duì)課程內(nèi)容進(jìn)行優(yōu)化調(diào)整，例題的選取也顯得尤其重要.

本文結(jié)合獨(dú)立學(xué)院的實(shí)際，從高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)的基本目標(biāo)任務(wù)出發(fā)，就如何結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)和能力，而精心選擇例題做了探討.

一、例題的選擇要有啟發(fā)性

在講授新知識(shí)時(shí)，通過(guò)選取合適的例題，啟發(fā)學(xué)生利用已學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，進(jìn)而導(dǎo)出新的知識(shí)概念，完成由舊到新的過(guò)渡. 這種啟發(fā)式的教學(xué)既能使學(xué)生加深對(duì)新知識(shí)的理解，也能使學(xué)生將原有知識(shí)與新知識(shí)很好的統(tǒng)一起來(lái)，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)思考的能力和學(xué)習(xí)興趣.

例如，在講授利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分時(shí)，學(xué)生已經(jīng)掌握了利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分的方法，此時(shí)可通過(guò)已有知識(shí)導(dǎo)入新的問(wèn)題.

例1 計(jì)算二重積分edσ，其中D是由中心在原點(diǎn)，半徑為a的圓周所圍成的閉區(qū)域.

本題學(xué)生利用已經(jīng)掌握的直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分的方法可以完成由二重積分到二次積分的轉(zhuǎn)化，但是由于被積函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù)，故本題無(wú)法利用直角坐標(biāo)計(jì)算. 遇到了困難，學(xué)生就會(huì)主動(dòng)思考新的方法，此時(shí)教師通過(guò)分析很自然地引入極坐標(biāo)，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和注意力被吸引.

二、例題的難度有梯度性

通過(guò)設(shè)置由淺入深，逐層遞進(jìn)的例題，啟發(fā)學(xué)生的解題思路，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造思維能力和發(fā)散思維能力，提高學(xué)生的解題能力.

例如在不定積分的教學(xué)中，可設(shè)置例題：

例2 求下列不定積分

（1）dx （2）dx （3）dx

（4） dx （5）dx

分析：（1）是非常簡(jiǎn)單的積分問(wèn)題，運(yùn)用積分公式，便可求得結(jié)果. 在此基礎(chǔ)上我們進(jìn)行了拓展、引申，得到問(wèn)題（2）-（5），啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行聯(lián)想，探究問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系及區(qū)別，激發(fā)學(xué)生解決問(wèn)題的欲望和興趣.

三、例題的選擇要融于學(xué)生所學(xué)的專業(yè)

高等數(shù)學(xué)的教學(xué)其目的是通過(guò)學(xué)習(xí)，奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，為學(xué)習(xí)后續(xù)課程做鋪墊. 因此在例題的選取上應(yīng)考慮專業(yè)課程的需要，適當(dāng)刪減教學(xué)內(nèi)容，增強(qiáng)例題的應(yīng)用性、針對(duì)性，這就對(duì)教師提出了更高的要求.

例如，在給通信工程等專業(yè)的學(xué)生講授方向?qū)?shù)和梯度的概念時(shí)，可通過(guò)這樣的一個(gè)例子引入.

例3 設(shè)有一座小山，取它的底面所在的平面為xoy坐標(biāo)面，其底部所占的閉區(qū)域D = {（x，y）|x2 + y2 - xy ≤ 75}，小山的高度函數(shù)為h = f（x，y） = 75 - x2 - y2 + xy

現(xiàn)欲利用此小山開(kāi)展攀巖活動(dòng)，為此需要在山腳找一上山坡度最大的點(diǎn)作為攀巖的起點(diǎn)，試確定攀巖起點(diǎn)的位置.

教師可引導(dǎo)學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)“坡度”，抽象出“方向?qū)?shù)”的概念，從“最大坡度方向”即方向?qū)?shù)最大的方向抽象出“梯度”的概念. 當(dāng)學(xué)生很好地理解了方向?qū)?shù)及梯度概念時(shí)，這個(gè)問(wèn)題就容易解決了.

四、例題的設(shè)計(jì)要與數(shù)學(xué)建模相結(jié)合

在例題的設(shè)計(jì)中，將數(shù)學(xué)建模引入數(shù)學(xué)教學(xué)中. 例如：在講授微分方程的概念和可分離變量的微分方程的解法時(shí)，給出如下問(wèn)題.

例4 2003年春天來(lái)歷不明的SARS病毒突襲人間，給人們的生命財(cái)產(chǎn)帶來(lái)極大的危害；2005年禽流感也給人類帶來(lái)了威脅. 長(zhǎng)期以來(lái)，人們擔(dān)心當(dāng)為數(shù)不多的傳染者分配到能夠感染的人群中時(shí)，隨著時(shí)間的推移，疾病是否會(huì)蔓延，最終有多少人會(huì)被傳染，應(yīng)采取怎樣的防御措施？

這是數(shù)學(xué)建模中典型的傳染病問(wèn)題. 對(duì)于沒(méi)有接觸過(guò)數(shù)學(xué)建模的大一學(xué)生，很少會(huì)想到將它和今天所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，于是興趣一下子被調(diào)動(dòng)起來(lái).

假設(shè)每天每個(gè)病人有效接觸的人數(shù)為常數(shù)λ，時(shí)刻t的病人人數(shù)為i（t），i（0） = i0是初始時(shí)刻的病人人數(shù)，考察t到t + Δt時(shí)間段內(nèi)病人人數(shù)的增加量，有i（t + Δt）-i（t） = λi（t）Δt，于是得微分方程 = λi（t），i（0） = i0，這是一個(gè)可分離變量的微分方程，其解為i（t） = i0eλt

結(jié)果表明，隨著t的增加，病人人數(shù)i（t）無(wú)限增長(zhǎng)，并趨于無(wú)窮大，這顯然是不符合實(shí)際的. 問(wèn)題在于假設(shè)不合理. 因此模型需要改進(jìn).

通過(guò)例題4的設(shè)計(jì)，學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)離我們并不遙遠(yuǎn)，利用數(shù)學(xué)知識(shí)可以解決實(shí)際問(wèn)題. 既加深了學(xué)生對(duì)微分方程的理解，也在教學(xué)中滲透了數(shù)學(xué)建模的思想. 本題最后提出了改進(jìn)的方向，也是激發(fā)學(xué)生課后獨(dú)立學(xué)習(xí)，自主探究的一種有效的方法.

結(jié)束語(yǔ)

總之，在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，應(yīng)該重視數(shù)學(xué)的例題選用，注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和創(chuàng)新思維能力，以及應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力. 例題的設(shè)計(jì)要體現(xiàn)獨(dú)立學(xué)院“以實(shí)用為目的，以必須夠用為度”的原則. 體現(xiàn)“聯(lián)系實(shí)際，深化概念，注重應(yīng)用，提高素質(zhì)”的特色. 科學(xué)選用例題，提高教學(xué)質(zhì)量.