函數思想在中學數學解題中的應用研究

陳明巖 高云柱

【摘要】 文章論述了函數思想在不等式、方程、數列等方面的應用. 說明函數思想不僅在數學中很多方面都能得到運用，是數學各分支的一個紐帶，而且通過函數思想能夠把一個復雜的問題簡單化. 系統(tǒng)的函數思想對于高中數學的學習裨益匪淺.

【關鍵詞】 函數思想；不等式；方程；數列

函數描述了自然界中數量之間的關系，函數思想通過提出問題的數學特征，建立函數關系型的數學模型，從而進行研究. 它體現了“聯系和變化”的辯證唯物主義觀點. 一般的，函數思想是構造函數（即“規(guī)定思想”）從而利用函數的性質（已知 + 未知 + 規(guī)定思想）解題.

函數思想是貫穿高中數學各個分支的一種很重要的思想，學會建立函數模型，以函數的觀點看待問題，往往給解決問題帶來很大的裨益. 函數思想是指應用函數的各種性質包括定義域，值域，單調性，周期性，奇偶性，對稱性等來有效地對問題進行簡化. 在解題過程中，通過建立函數的模型，把方程，數列，不等式等其他問題轉化為函數問題，往往能給解題帶來很多簡單，便捷的思路. 近年來，函數以其多樣的性質，靈活的應用，越來越成為高考試題的核心，因此應當引導學生建立函數思想，學會以函數思想看待問題.

下面我們分別從函數與方程，函數與不等式，函數與數列三個方面來闡述函數思想，即用函數思想解答非函數問題. 一、函數思想在不等式中的應用

不等式是用不等號聯系起來的兩個解析式，因此不等式的問題也可以轉換為函數的問題，從而利用函數的觀點和思路解決.

例1 設不等式2x - 1 > m（x2 - 1）對滿足|m| ≤ 2的一切實數m 均成立，試求實數x的取值范圍.

分析 碰到這個題的時候，往往會有這樣的思維定式，總是希望通過解x的不等式來解決這個問題，其實我們可以換一個角度，把這個不等式轉化為關于m的函數，這樣題目就轉化為函數的值域問題了.

解 問題可變成關于m的一次不等式：

（x2 - 1）m - （2x - 1） < 0在[-2，2]上恒成立.

點評 本題的關鍵是在于選取適當的自變量，就能把問題變得很簡單，思路也會很清晰.

一般的，在處理多個變量的不等式問題中，關鍵是選取合適的變量參數，把變量的關系明朗化. 或者在含參數的不等式中，有效地變換參數和自變量的位置，以參數為函數，更加靈活的處理問題.

二、函數思想在方程中的應用

點評 在解決方程的問題中，我們的一個常見的思路就是把方程的兩邊分別構造成兩個函數，通過兩個函數的圖形上的相交來看待方程的解的問題.

三、函數思想在數列中的應用

數列可以看作定義域為正整數集的函數，數列的表達式往往可以看作函數的解析式，因此，我們可以運用函數的思想解決數列的問題.

點評 這個題雖然比較簡單，但是很好的體現了數列與函數的關系，在做數列的很多問題的時候，我們可以把數列問題轉化為函數問題，再利用函數的性質，比如單調性，周期性等巧妙的把問題解決.

四、結 語

函數思想問題中涉及很多知識點，在數學中很多方面都能得到運用，是數學各分支的一個紐帶. 針對方程、不等式、數列問題應該善于通過換元、構造函數，對換主元等手段轉化為函數問題加以解決. 應當理解函數存在的各種性質，這是解決函數相關問題的核心，往往通過函數的性質能夠把一個復雜的問題簡單化，系統(tǒng)的函數思想對于高中數學的學習裨益匪淺.

在解題中，善于挖掘題目中的隱含條件，構造出函數解析式和妙用函數的性質，是應用函數思想的關鍵. 對所給問題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時，才能產生由此及彼的聯系，構造出函數原型.