集動、靜于一身的數(shù)學(xué)精靈

朱建新

定義：在一個數(shù)學(xué)表達式中，如果有這樣的量，它在每個指定情形下是一個常數(shù)，但在不同指定情形下的值不同，這樣的量叫做參變量，又叫參變數(shù)，簡稱參數(shù).

參數(shù)是一種很奇怪的量，在一般的解題過程中，應(yīng)視其為定值，但同時，卻又沒有具體確定它的值是多少，隨著它取值的變化，問題往往也會隨之發(fā)生變化. 因此，參數(shù)既有定值的表征，又有變量的特點，如果用一個形象的比喻來形容的話，它就是集動、靜于一身的精靈，具有兩重性. 如果不注意這個精靈的這種兩重性，就容易被它忽悠.

兩種解法得出兩種結(jié)果，誰對誰錯？孰是孰非？

其實我們只要具備孫悟空的火眼金睛，就不會被其忽悠所蒙蔽. 解法一是將集合A中的參數(shù)a視作變量而將集合B中的參數(shù)a視作常量考慮，在同一題中同一個量a做兩種截然不同的解釋，這是不允許的，因此解法一是錯解；而解法二將集合A、B中的參數(shù)都視為定值，這正是參數(shù)的本來面目，所以，解法二正確.

“參數(shù)”這個數(shù)學(xué)中的精靈是一個很活躍的元素，幾乎轉(zhuǎn)角都會遇到它，其作用不容低估. 怎樣用好參數(shù)的兩重性而不被其忽悠，往往成為數(shù)學(xué)解題中至關(guān)重要的一環(huán). 筆者擬從自身教學(xué)實踐的角度出發(fā)，談一點看法.

一、靜中求動，切勿遺漏

在方程和不等式中，以字母形式出現(xiàn)的常數(shù)，都應(yīng)視為參數(shù). 在解題過程中，要特別注意這些參數(shù)對所作結(jié)論的影響，視其具體情況對其予以討論.

進行討論時，應(yīng)就參數(shù)的特征理清層次，對參數(shù)的所有允許取值都要進行考慮，否則就可能有所遺漏. 如此例，容易丟失cos α = -1這一情況時的解x = 2.

二、有靜有動，弄清主從

對于含兩個參數(shù)的問題，正確的處理方法是將其中一個作定值看待，另一個作變量利用，一靜一動，相得益彰.

兩個參數(shù)，誰主誰從，要依據(jù)題意進行確定.

三、亦靜亦動，靜中見動

含參數(shù)的問題特別值得我們注意的是，一方面，參數(shù)的靜態(tài)表征往往使人只將它看作常數(shù)來處理；另一方面，參數(shù)的動態(tài)特性又使得結(jié)論具有不確定性，使得問題錯綜復(fù)雜化. 這時，就需順應(yīng)題意，動靜得宜.

四、以靜馭動，相對輕松

曲線方程的一種，是參數(shù)方程. 其實，曲線的參數(shù)方程是一個函數(shù)組，就是把刻劃曲線的幾個變量統(tǒng)一用同一個參數(shù)各自表出，形成方程組. 這一性質(zhì)意味著利用曲線的參數(shù)方程可以實現(xiàn)將所考慮的曲線問題統(tǒng)一在一個量下進行處理，達到減元的目的.

例5 已知橢圓 + = 1（a > b > 0），A、B是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點P（x0，0），求證：- < x0 < .

分析 若設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則產(chǎn)生四個變量，雖說由A、B兩點在橢圓上可產(chǎn)生兩個等式，但要用于消元卻不太方便. 然而，利用橢圓的參數(shù)方程，只需設(shè)兩個變元，且可直接反映出A、B在橢圓上，減少大量的運算.

解題時，適當(dāng)?shù)囊M參數(shù)，有利于問題的解決；引入?yún)?shù)，往往能拓寬思路，找到解題的捷徑. 因此，要善于引入?yún)?shù)解題.

參數(shù)的運用還有許多，比如反客為主（將參數(shù)與主要變量互換地位）、分離參數(shù)，等等. 但只要我們細心研究，悉心鉆研，參數(shù)這個數(shù)學(xué)的精靈就不但不會忽悠我們，反而會成為我們的好朋友，為我們的數(shù)學(xué)教學(xué)增光添彩！