輕輕挑開分類討論思想的面紗

劉思武

【摘要】 分類討論思想在初中數學經常涉及，有著廣泛的應用，其具有很強的綜合性、邏輯性、探索性，分類討論思想不僅僅是一種數學思想、解決問題的工具，對學生能力的考查也有很高的要求，導致學生在解答分類討論題時經常出現“不會或者不全”，原因主要是學生不知道為何分類討論，怎么做.筆者根據自己平時的教學，談談如何讓學生更好掌握分類討論思想.

【關鍵詞】 分類討論思想；分類討論；概念

一、學生的分類之“殤”

學生常見錯誤

學生在分類討論思想應用上常見的錯誤大致有這幾類：

（一）分析問題時分類討論思想的意識不強

一個問題基本涵蓋條件和結論，分類討論終究是條件的不確定，導致正確結論無法得出，

這時就需要分類討論，確定條件.例如：一個等腰△ABC中∠A = 80°，那么這個三角形中∠B是多少度？這是一道初中與等腰三角形有關的常見的題型，但是此題不見得所有學生都能解答出全部情況.部分學生認為∠A是頂角，所以理所當然得出∠B是底角，從而得出其度數為50°.

（二）分類討論的原則不清

在上面的題中∠A是底角還是頂角呢？∠A的屬性不清，這時需要對∠A進行討論.當∠A是頂角時，∠B只能是底角，從而得出∠B = 50°.當∠A是底角時，此時部分學生會理所當然的想到∠B是頂角，但是還沒有對∠B進行討論，就會遺漏其他情況.

（三）審題不清，主觀臆斷

已知函數（為常數）與軸有公共點，求的取值范圍.此題考查一次函數與二次函數的概念，學生審題不清，單從形式上認為本題的函數是二次函數，給出這一題的解很多是根據判別式從而得出的范圍.

二、分類討論思想

（一）到底是什么

每個數學結論都有其成立的條件，每一種數學方法的使用也往往有其適用范圍，在我們所遇到的數學問題中，有些問題的結論不是唯一確定的，有些問題的結論在解題中不能以統一的形式進行研究，還有些問題的已知量是用字母表示數的形式給出的，這樣字母的取值不同也會影響問題的解決，由上述幾類問題可知，就其解題方法及轉化手段而言都是一致的，即把所有研究的問題根據題目的特點和要求，分成若干類，轉化成若干個小問題來解決，這種按不同情況分類，然后再逐一研究解決的數學思想，稱之為分類討論思想.

（二）數學課本中常見分類討論思想

初中數學課本中已經較多見到分類討論思想的應用，如有理數這一章的學習，都反復出現分類的“身影”.有理數比較大小，可以分為正數和正數、正數和0、正數和負數、負數和0，負數和負數這幾類來進行，絕對值的學習等.七年級作為初中的起始就出現了分類討論，后面更是頻頻出現其“身影”， 可見分類討論思想在知識體系中的重要地位.蘇科版八年級上第一章《全等三角形》探究全等三角形的條件時也涉及了分類討論的思想，教師在講授時應該引導學生分別探究一對元素、兩對元素、三對元素時三角形是否全等，同時還需要對每種情況再進行分類討論，最后總結得出正確結論；蘇科版九年級上第二章《圓》，在探究點與圓的位置關系、直線與圓的位置關系；函數在定義域上的單調性的討論，也是分類討論思想的較好體現.

（三）教師之任

由于在現行教材的知識體系當中，并沒有專門的章節介紹分類討論的數學思想，但它卻貫穿于整個知識體系的始終，主要靠教師在傳授知識的過程中逐步滲透這一數學思想.

而小結課、復習課是系統知識、深化知識的最佳課型，也是滲透分類思想、學會分類方法的最佳時機.應盡可能的將所學知識系統整理、分類歸納.另外，還可設計一些含有分類討論思想的習題和練習.

三、揭開面紗

（一）深入了解，其實不難

分類討論思想是按照數學對象的相同點和差異點，將數學對象區分為不同種類的思想方法，掌握分類討論的方法，領會其實質，對于加深基礎知識的理解.提高分析問題、解決問題的能力是十分重要的.正確的分類必須是周全的，既不重復、也不遺漏.

明確分類討論的動因與討論的方法，分類時要條理分明，做到分類討論既不重復也無遺漏，這是解答初中數學中分類討論問題的基本方法.在解題時，要抓住分類討論的動因，明確分類討論的方法.運用分類討論方法解題的關鍵就是思辨清楚討論的動因與討論的方法，就是為什么要討論？怎樣討論？思路清了，解題的框架確定了，解題就嚴密完整、敘述就條理分明.

（二）常見形式

分類討論問題是創新性問題之一，此類題綜合性強，難題較大，在歷年中考試題中多以壓軸題出現，對考生的能力要求較高，具有很強的選拔性.綜合中考的復習規律，分類討論的知識點常有三大類：

1. 代數類：代數有絕對值、方程及根的定義，函數的定義以及點（坐標未給定）所在象限或者二次函數的取值范圍等.

2. 幾何類：幾何有各種圖形的位置關系，未明確對應關系的全等或相似的可能對應情況等.

3. 綜合類：代數與幾何類分類情況的綜合運用.

在初中數學中，有關涉及分類討論思想的問題很多，題目也比較繁雜.這類問題有沒有一種共性？解此類題目有沒有一種切實可行的方法？實際上，初中數學中涉及分類討論的問題大多是對數學概念本身的深入了解和再次挖掘，只要學生了解到這一點，分類討論問題并不怎么神秘.

【參考文獻】

錢榮妹.從等腰三角形壓軸問題管窺分類討論[J].中學數學初中版，2014.5.