應用型人才培養目標下離散數學課程的教學

魏洪偉 王博 王建華

摘要：針對應用型人才培養目標下離散數學課程的教學實際，分析計算機專業離散數學課程的教學原則及方法，提出學以致用的教學原則，闡述如何在離散數學教學中運用翻轉式教學、引導學生獨立思考、加強實踐等教學方法，使學生牢固掌握離散數學知識并將其應用于實踐，使離散數學教學為培養應用型人才服務。

關鍵詞：應用型人才；離散數學教學；學以致用；翻轉式教學；

引言

離散數學是研究離散量的結構及離散量間相互關系的一門學科，在計算機科學理論體系中具有重要的基礎地位。毫不夸張地說，計算機科學理論體系是架構在離散數學的基礎上的。許多計算機專業后續課程都以離散數學為基礎，無論是硬件還是軟件，離散數學知識都有著舉足輕重的地位。從硬件角度來說，計算機硬件系統本身就是一種離散結構，只能處理離散的數量關系，比如在數據存儲方面，磁盤用離散的磁粒子保存數據、光盤用離散的凹點保存數據。在軟件方面，很多算法和數據結構都是架構在離散數學模型基礎上、利用離散數學方法來解決問題的，比如樹、圖等常用的數據結構。因此，學好離散數學是學好計算機軟硬件理論知識的關鍵。

古人說：學以致用。離散數學是最貼近生活、最能展現這一原則的數學學科之一。計算機專業學生學習離散數學就是為了將其應用于計算機領域，進而成為應用型人才。因此，在離散數學的教學過程中，我們一直遵循“學以致用”的教學原則，以培養應用型人才為目標。

1教材與教學方式的選擇

在教材的選擇上，我們選擇的是美國Bernard Kolman等人撰寫的Discrete MathematicalStructures，采用雙語教學。之所以選擇這本英文教材，原因有以下幾方面。

首先，該教材在介紹離散數學知識的同時，既介紹了相應知識在計算機領域中的應用，又介紹了如何利用計算機專業知識來解決數學問題。切合了我們培養應用型人才的目標。

其次，選擇英文教材進行雙語教學能夠使學生掌握一定的英文專業術語，提高學生閱讀英文文獻的能力。比如，數據結構是最重要的計算機專業課之一，也是以離散數學為基礎的一門課程，數據結構中不僅涉及離散數學的許多知識，而且算法名稱、變量名稱都以英文形式出現，這些英文術語在該離散數學教材中均有涉獵，掌握這些術語對學生深入理解算法大有裨益。另外，由于以往閱讀英文文獻在本科階段所占比重不是很大，本科生往往忽略對這一能力的提高。而一旦進入科研領域，英文能力的欠缺不但影響到他們對工作、學習的信心，還大大限制了他們的發展。通過雙語教學能夠提高本科生的專業英文水平，有利于他們將來繼續深造和求職就業。

2貫徹學以致用的教學原則

正因為離散數學是計算機專業其他課程的基礎，所以講授這門課程就不能孤立地講數學知識，更應該讓學生了解所學的數學知識在計算機科學中的應用，使學生學以致用。

離散數學主要包含集合論、數理邏輯、近世代數、樹論、圖論等內容。提到離散數學，人們很容易想起數理邏輯這部分知識。為什么要學邏輯，它和計算機科學有什么聯系，這是很多計算機專業學生的困惑。在講授這部分知識之前，我們應介紹邏輯在計算機科學中的基礎地位：第一，因為命題的真值只有T、F兩種狀態，所以可以用0、1表示，而命題間的∧、∨、～等運算關系是數字邏輯電路設計的基礎；第二，計算機程序設計必須嚴格遵循邏輯，建立嚴謹的邏輯思維有利于計算機程序的設計與開發；第三，邏輯關系中由==>、<=>、≡等符號聯結的表達式傳遞給我們的信息實際上是一些推理、證明方法，比如（p<=>q）一（p==>q）∧（q==>p））這個表達式實際上告訴我們，在證明兩個命題p<==>q時，可以通過證明p==>q并且q==>p這兩個蘊含式來實現。所以這些邏輯表達式都可以在推理、證明的過程中加以運用。

離散數學中最常見的一個名詞就是關系，而計算機科學中常用到的數學模型大多是特殊的關系，如函數、布爾代數、樹、圖等，可以說關系的特性滲透在計算機科學的多個領域。樹和圖這兩種特殊的關系對計算機科學的貢獻更是有目共睹，它們不僅為我們提供了數據存儲的方法，更提供了處理數據的算法依據。比如，二叉樹為我們提供了一種數據的存儲方法，基于它衍生出多種搜索策略和數據處理方法，哈夫曼樹更為我們提供了一種行之有效的編碼方案。再如，圖論中漢密爾頓路問題的一個最典型的應用就是算法分析課中的旅行售貨員問題，這個問題是算法分析課的一項重要內容，不僅涉及離散數學中圖論的相關知識，其解決方案更涉及樹論的知識。在離散數學課中簡要介紹旅行售貨員問題的基本概念和算法基本思想，既能使學生加深對樹論、圖論相關數學知識的理解，更能為學生將來學習算法分析打下基礎。因此，在離散數學的授課過程中，不但要注重相關數學概念和運算方法的講解，更要滲透這些知識在后續課程中的應用。

3引導學生在思考中學習

應用型人才應具有較強的獨立分析問題、解決問題的能力，在思考中學習正是提高這一能力的前提。學習就是一個思考的過程，只有多問多想才能更好地理解知識、掌握知識進而運用知識。教師的作用就是引導學生思考、教會學生如何思考。如果像填鴨一樣把所有知識灌輸給學生，只會使學生“消化不良”，產生厭學心理。教室不是教師的一言堂，而是師生共同探討知識的天地。教師也并非至高無上、不容置疑的權威，懂得質疑的學生比盲目接受的學生學得更扎實、用得更靈活。因此，在教學中多為學生營造思考的空間，多問一些為什么，允許學生質疑，這樣才能調動學生的積極性，其學習效果則更加顯著。

比如，圖論中的運輸網絡問題需要求解最大流，可以利用標號算法解決。但算法本身較繁瑣，步驟也很多，每找到一條路就要進行一次回溯，學生在做題時難免有些困惑。此時應適時向學生提問：為什么要進行多次回溯？學生經過思考不難發現，回溯的目的是為了重新找到從源到匯的路，而多次回溯就是要找到所有從源到匯的路，這些路累加起來就是運輸網絡中的最大流。如此，學生就能自行總結出標號算法的基本思想：找到從源到匯的所有路，將這些路累加起來得到最大流。標號算法雖然繁瑣，算法步驟雖然多，但只要能夠理解其基本思想就能利用它來解決實際問題。離散數學中類似的例子不勝枚舉。在教學中，教師要不斷地引領學生前行，一個又一個的“為什么”就是引領學生前行的路標，思考則是前行的最強動力。

4翻轉式教學法的應用

翻轉式教學使學生成為課堂的主體，課程的講解人從教師“翻轉”為學生。教師提前將學習提綱布置給學生，學生自學后到課堂上講解，再由師生共同討論、總結。離散數學中一些難度不大的內容完全可以采用翻轉式教學法。比如圖論中Some important special graphs（幾種特殊的圖）這部分內容就可以以填表的形式讓學生自學并講解，如表1所示。表1中涵蓋了這部分內容的全部知識點，學生要完成表格就必須仔細閱讀書中內容，并利用書中的定義、定理去判斷（如是否正則圖、連通圖）、計算（如邊數）、總結公式。

讓學生在課堂上講解不但可以活躍課堂氛圍、加深學生對知識的理解，還可以鍛煉學生的語言表達能力，這些都是應用型人才的基本能力。因此，翻轉式教學是培養應用型人才的有力方法。

5加強實踐環節

對于應用型人才的培養，實踐環節是不可或缺的重要部分。離散數學知識在計算機領域有著廣泛的應用，許多數學問題也可以用計算機手段來解決。比如前文提到的運輸網絡問題就可以編程序解決。離散數學課中類似的問題還有很多。為了讓學生更好地理解離散數學在計算機科學中的應用、提高學生利用所學的計算機知識解決問題的能力，我們通過課程設計、學年論文、畢業論文等方式，將離散數學知識與計算機其他專業知識相融合，提出許多課題讓學生獨立解決，如匹配問題的研究與應用，數學歸納法在算法驗證中的應用，圖的著色問題、歐拉路問題、漢密爾頓路問題、最短路徑問題等圖論知識的研究與應用，編程序驗證關系的自反性、對稱性、傳遞性等。通過這些課題的訓練，不但加深了學生對數學知識的理解，使學生將數學知識應用于實際問題，更提高了學生利用計算機編程解決實際問題的能力。

6結語

在十幾年的離散數學教學實踐中，我們始終堅持以培養應用型人才為目標，以學以致用為教學原則，不斷嘗試和總結新的教學方法，使學生熟練掌握離散數學知識并能將其應用于實踐，為后續課程打下堅實基礎。問卷調查顯示，95%的學生認為離散數學的學習對后續課程有很大幫助，92%的學生認為我們采取的教學方式有助于理解和運用知識，89%的學生希望增加翻轉式教學、實踐教學。在今后的教學中，我們會繼續研究與探索，力爭為社會培養更多具有實踐能力和創新精神的應用型人才。