“雞兔同籠”教學建議與反思

吳菊蓮

“雞兔同籠”問題是我國民間廣為流傳的數學趣題，最早出現在《孫子算經》中。人教版實驗教材安排在小學六年級上冊第七單元“數學廣角”；改版后安排在四年級下冊第九單元“數學廣角”中，增加了教師教學的挑戰性。我原來也聽過幾次這一內容（六年級）的教學，但總覺得缺點什么。于是，我決定挑戰一下，在本學期學校舉行的優質課賽中就上《雞兔同籠》。我查閱資料，網絡上查看教學設計和教學視頻，想取長補短，尋找符合小學四年級學生的學習方法和教學方法。“當轉化、猜想、列舉、畫圖、假設、建模、代數、抬腳”等多種數學思想方法同時作用于“雞兔同籠”問題中時，它們之間必然存在相互關聯之處。轉化是解決“雞兔同籠”問題中的基礎性的思想方法，不可缺少；猜測、列舉、畫圖、抬腳是解決“雞兔同籠”問題中的頗有局限性的思想方法，雖然能夠為假設做好了鋪墊或延伸，但會受到數目大小或奇偶性的限制，不能廣泛運用；真正能夠適應于此類問題的無疑還是假設和代數的思想方法。在此，我把我的教學收獲與大家分享。

一、大膽前置問題情境，提高問題的“知名度”

根據《義務教育數學新課程標準（2011年版）》在課程設置中強調學生是學習的主人，在學習過程中盡可能多地為學生提供探索和交流的空間，鼓勵學生自主探索與合作交流。我課前設計一份比較開放的預習單，讓學生通過查閱資料、借助網絡信息了解“雞兔同籠”問題的解決方法，讓學生初步感知“雞兔同籠”問題情境，投人到尋求解決問題方法的實踐活動中去，大膽利用猜測、畫圖、列表等方法來揭示問題情境。

課堂上，我抓住學生的好勝心理讓他們把預習時知道的解題思路、方法在小組內進行交流展示，小組內方法互補、相互借鑒，選出代表向全班進行匯報展示。生動有趣的數學問題情境，在學生愉快的探索、交流、展示中帶來了樂趣，使學生處于一種良好的愉悅的氛圍中，調動了學生探究問題的積極性，激發學習數學的興趣。

二、放手經歷問題情境，提高問題的“形成性”

從課前預習到課堂上的小組討論交流展示，學生已經把自己置身于解決問題的過程中。有的小組展示畫圖法，有的小組交流總結猜測的過程，有的小組展示列表法，有的小組介紹假設法，展示十分精彩。學生之所以能大膽地展示自己，一方面是我給學生提供了一個自學、合作的空間，學生在探究、交流、展示的過程中都有收獲。中等生可以結合自己的理解和對書本的理解學會屬于自己的解題方法；優生不滿足一種方法，追尋方法的多樣性，就這樣，一批“領袖兒童”顯現出來，引領整個班級快速前進；而少部分理解稍有困難的學生也能夠在交流討論、傾聽的過程中感悟解決“雞兔同籠”問題的奇妙。另一方面給每個學生都提供一個展示的舞臺，在交流中相互取長補短，吸取別人先進的、簡便易懂的解題方法，將不夠明白的問題弄明白。所以每個學生都能充滿自信，認真地講解自己的做法以及思路，我想這一類題目對于孩子們來說是永久的記憶。

三、問題情境游戲化，提高問題的“模型化”

學生在交流、補充、相互評價的過程中，通過猜測、列舉、畫圖解決“雞兔同籠”問題時，也會受到數目大小的影響。我先引導學生觀察對比，優化方法，把用假設法解決“雞兔同籠”的優越性彰顯出來，再指導學生用假設法解決問題，建立模型。

方法一：假設全部都是雞。每只雞2只腳8×2=16（只腳）（共有16只腳數，也就是雞兔總腳數），但實際有26只腳。26-16=10（只腳），現在腳數比實際的少10只腳，少了的10只腳應該是誰的？（兔子的）為什么？插入游戲：8名學生上場，3人扮演雞，2只腳著地；5人扮演兔子，4只手腳著地。提問：現在有幾個頭？幾只腳？（8個頭，26只腳）聽口令：全體兔子抬起兩條前腿，立正站好（全班哄堂大笑），但學生在笑的同時，已經觀察到兔子統統抬起2只腳，減少的是兔腳（一只兔減少2只腳，共減少10只腳）。一只雞比一只兔少2只腳：4-2=2（只腳）；那么10只腳是多少只兔子減少的？10÷2=5（只兔）。兔子求出來了是5只，雞的只數很容易就算出了：8-5=3（只雞）。師生邊觀察邊總結記錄計算過程：

假設全部都是雞

（1）共有多少只腳？8×2=16（只腳）

（2）比實際少多少只腳？

26-16=10（只腳）（減少的是兔腳）

（3）一只雞比一只兔少多少只腳？4-2=2（只腳）

（4）有多少只兔？10÷2=5（只兔）

（5）有多少只雞？8-5=3（只雞）

方法二：假設全部都是兔。每只兔4只腳8×4=32（只腳）（共有32只腳，也就是雞兔總腳數），但是實際只有26只腳。32-26=6（只腳），現在腳數比實際的多6只，這6只腳應該是誰多出的？（雞的）為什么？插入游戲：8.g學生上場，3人扮演雞，2只腳著地；5人扮演兔子，4只手腳著地。提問：現在有幾個頭？幾只腳？（8個頭，26只腳）聽口令：全體雞放下兩只翅膀（學生雙手也著地），變成兔子（全班學生再次笑了），學生在笑的同時，已經觀察到雞變成兔子后，多出來的是雞腳（一只雞多出2只腳，共多出6只腳）。一只兔比一只雞多2只腳：4-2=2（只腳）；那么6只腳是多少只雞多出的？6÷2=3（只雞）。雞求出來是3只，兔的只數也很容易就算出了：8-3=5（只兔）。師生邊觀察理解邊總結記錄計算過程：

假設全部都是兔

（1）共有多少只腳？8×4=32（只腳）

（2）比實際多多少只腳？

32-26=6（只腳）（多出的是雞腳）

（3）一只兔比一只雞多多少只腳？4-2=2（只腳）

（4）有多少只雞？6÷2=3（只雞）

（5）有多少只兔？8-3=5（只兔）

兩種不同的假設方法出來后，引導學生觀察、對比、發現它們的異同，重在理解多出（或減少）的腳是誰多出（或減少）的？先求出來的是雞還是兔？我在課中設計這個游戲，主要目的就是把學生的注意力吸引過來，積極主動地參與學習，在參與游戲的過程中學習并理解了用假設法解決“雞兔同籠”問題的方法及思路，有效地降低了新課教學的難度。

四、問題情境生活化。提高問題的“應用度”

在學生掌握了兩種不同假設方法解題的思路后，我告訴他們，在生活中，雞兔同籠的現象很少碰到，沒見過有人把雞和兔放在一個籠子里，即使放在一個籠子里又有誰會去數它們的腳呢？直接數頭不就行了？那是不是說“雞兔同籠”問題是一個沒有價值的數學問題呢？顯然不是，“雞兔同籠”問題，是讓我們通過雞兔腿數的變化，在這種變化中尋找不變的規律，并采用有效的手段來理解數學問題的過程。該類問題在我們的生活中經常遇到：如龜鶴問題（龜相當于兔，鶴相當于雞）、民謠中的人狗問題（狗相當于“兔”，人相當于“雞”）、生活中的租船問題（大船相當于“兔”，小船相當于“雞”）、知識競賽搶答計分（答對加分相當于“兔”，答錯扣分相當于“雞”，此類題的關鍵是弄清答對和答錯的相差分數）等。明確了“雞兔同籠”在生活中的應用，讓學生尋找生活中的“雞兔同籠”問題，體現數學的生活味和應用價值。最終讓學生感受“雞兔同籠”問題的學習，貴在學習一種假設推理的思想方法，貴在用來解決生活中類似于“雞兔同籠”的變式問題，拓寬了對“雞兔同籠”問題的認識，構建了該類問題的數學模型，形成了知識的遷移。