圓的切線和切點弦方程的公式求法

張立中

【摘 要】圓的切線方程除一般的解法外，本文探索一種利用公式法求圓的切線方程，并就圓的切線方程和切點弦方程的關系進行了探討，其中不乏解題的方法和技巧。特別是有了公式，不僅豐富了圓的切線方程的解題方法，更大的價值是可以利用計算機編程求解圓的切線和切點弦方程，這是傳統解法所不能完成的。

【關鍵詞】圓 切線方程 切點弦方程 關系探討

1 圓的切線的求法

圓的切線方程的求法，除一般解法外，本文探索一種公式法求切線，使求切線的方法更加完美。

定理：已知點p（m，n），圓C：（x-a） 2+（y-b）2=r2。當p（m，n），在圓C上時，過p的切線方程為：（m-a）（x-a）+（n-b） （y-b）= r2

當p（m，n）在圓C外時，若│m-a│≠r時，過點p的兩條切線的斜率為：

若│m-a│= r時，過點p的一條切線的斜率不存在，切線方程為x=m，

另一條切線的斜率為：

證明：1）當p（m，n）在圓C上時，易得過p的圓的切線方程為：（m-a）（x-a）+（n-b）（y-b）= r2。2）當p（m，n）在圓C外時，（m-a）2+（n-b） 2>r2。設過P與C相切的直線的斜率為K，則有：y-n=k（x-m）即：kx-y-mk+n=0

由于圓心到直線kx-y-mk+n=0的距離等于圓的半徑，得

即：

兩邊平方，整理得[ （a-m）2-r2]k2+2（n-b）（a-m）k+（n-b）2-r2=0 （*） 若│m-a│≠r時，△=4r2[（m-a）2+（n-b）2-r2]， 所以

。特別地，當a=b=0時

若│m-a│=r時，一條切線的斜率不存，切線方程為x=m，另一條切線的斜率由方程（*）式得。 特別地，當a=b=0時，

例1：從圓（x-1）2+（y-1）2=1外一點P（2，3）向該圓引切線，求切線方程。

解∵a=b=1，r=1，m=2，n=3，且│m-a│=r ∴ 圓的一條切線為x=2，

另一條切線的斜率由公式 得K==

所以，另一條切線為y-3= （x-2） 即3x-4y+6=0

例2 ：已知圓C：（x-a）2+（y+3）2=9及圓外一點P（2，2），求過點P的圓的切線方程。

解∵a=2，b=-3，r=3，m=2，n=2 且│m-a│≠r

∴由公式 得k=±

∴圓的切線方程為y-2=±（x-2） 即 4x-3y-2=0 或 4x+3y-2=0

2 切點弦方程的求法

問題：從圓外一點作圓C：（x-a）2+（y-b）2=r2的切線PA、PB，A、B為切點，求直線AB的方程。

解：設切點坐標為A（x1，y1），B（x2，y2），則過A、B點的切線方程為：

（x1-a）（x-a）+（y1-b）（y-b）=r2 （1）

（x2-a）（x-a）+（y2-b）（y-b）=r2 （2）

由p（m，n）即在PA上，又在PB上，故有：

（x1-a）（m-a）+（y1-b）（n-b）=r2 （3）

（x2-a）（m-a）+（y2-b）（n-b）=r2 （4）

（3）（4）表明，A、B點的坐標適合方程 （x-a）（m-a）+（y-b）（n-b）=r2

故直線AB的方程為：（m-a）（x-a）+（n-b）（y-b）=r2

利用上述結論，可求切點弦的方程。

例3 從圓（x-1）2+（y-1）2=1外一點P（2，3），向該圓引切線，求過切點的直線方程。

解：由于a=1，b=1，m=2 n=3，根據切點弦方程（*）式可得（x-1）（2-1）+（y-1）（3-1）=1即：x+2y-4=0

3 圓的切線方程與切點弦方程的關系

根據1、2可得下面的結論：

已知圓（x-a）2+（y-b）2=r2 及點P（m，n），當P在圓上時，過P的切線方程為：（m-a）（x-a）+（n-b）（y-b）= r2

當P在圓外時，過P作圓的兩條切線，過切點的直線方程為：（m-a）（x-a）+（n-b）（y-b）= r2